Διακτινικό ύψος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8431
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Διακτινικό ύψος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Φεβ 20, 2019 2:00 pm

Διακτινικό ύψος.png
Διακτινικό ύψος.png (9.15 KiB) Προβλήθηκε 393 φορές
Έστω M το μέσο του ύψους AD τριγώνου ABC και I το έγκεντρο. Η MI τέμνει τη BC στο F.

α) Να δείξετε ότι το F είναι το σημείο επαφής του A-παρεγγεγραμμένου κύκλου με τη BC.

β) Να υπολογίσετε το ύψος AD συναρτήσει των ακτίνων r, r_a του εγγεγραμμένου και A-παρεγγεγραμμένου κύκλου.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1475
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Διακτινικό ύψος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τετ Φεβ 20, 2019 3:35 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Φεβ 20, 2019 2:00 pm
Διακτινικό ύψος.png
Έστω M το μέσο του ύψους AD τριγώνου ABC και I το έγκεντρο. Η MI τέμνει τη BC στο F.

α) Να δείξετε ότι το F είναι το σημείο επαφής του A-παρεγγεγραμμένου κύκλου με τη BC.

β) Να υπολογίσετε το ύψος AD συναρτήσει των ακτίνων r, r_a του εγγεγραμμένου και A-παρεγγεγραμμένου κύκλου.
Καλησπέρα Γιώργο.

α) Αρκεί να δείξω ότι η FI τέμνει την AD στο μέσον της, με F το σημείο επαφής του παρεγγεγραμμένου με την BC. Αυτό είναι ένα γνωστό Λήμμα, μία απόδειξη:

Αν L το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου με την BC και K το αντιδιαμετρικό αυτού, αρκεί να δείξω ότι η AK τέμνει την BC στο σημείο επαφής του παρεγγεγραμμένου με την BC (πράγματι τότε θα είχα KI=IL, AD \parallel KL, οπότε από Θ. Κεντρικής Δέσμης, το M \equiv FI \cap AD είναι το μέσον της AD).

Ισοδύναμα, αρκεί να δείξω ότι αν η AF τέμνει τον εγγεγραμμένο σε σημείο K, τότε το K είναι το αντιδιαμετρικό του L στον εγγεγραμμένο.

Έστω, K' το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου με την AC, I_a το κέντρο του παρεγγεγραμμένου και T το σημείο επαφής του παρεγγεγραμμένου με την AC.

Από γνωστό Λήμμα, τα A,I,I_a είναι συνευθειακά. Επίσης, είναι IK' \parallel IT οπότε \dfrac{AI}{AI_a}=\dfrac{IK'}{IT}=\dfrac{r}{r_a} (1).

Ακόμη, είναι \dfrac{IK}{FI_a}=\dfrac{r}{r_a} (2).

Από (1), (2) προκύπτει \dfrac{AI}{AI_a}=\dfrac{IK}{I_aF} \Rightarrow IK \parallel I_aF \Rightarrow IK \perp BC, και αφού IL \perp BC, τα I,K,L είναι συνευθειακά. Συνεπώς, το K είναι το αντιδιαμετρικό του L και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

β) Είναι, (με \tau συμβολίζεται η ημιπερίμετρος του \vartriangle ABC) \tau \cdot r=(ABC)=\dfrac{a \cdot AD}{2} \Rightarrow AD=(1+\dfrac{b+c}{a})r (3).

Ακόμη, είναι \dfrac{IK'}{IT}=\dfrac{AK'}{AT}=\dfrac{\tau-a}{\tau}=\dfrac{b+c-a}{b+c+a} \Rightarrow \dfrac{r}{r_a}=\dfrac{\dfrac{b+c}{a}-1}{\dfrac{b+c}{a}+1} \Rightarrow \dfrac{b+c}{a}=\dfrac{r_a+r}{r_a-r} (4).

Συνδυάζοντας τις (3), (4) προκύπτει AD=\dfrac{2rr_a}{r_a-r}.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Διακτινικό ύψος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Φεβ 20, 2019 11:10 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Φεβ 20, 2019 2:00 pm
Διακτινικό ύψος.png
Έστω M το μέσο του ύψους AD τριγώνου ABC και I το έγκεντρο. Η MI τέμνει τη BC στο F.
α) Να δείξετε ότι το F είναι το σημείο επαφής του A-παρεγγεγραμμένου κύκλου με τη BC.
β) Να υπολογίσετε το ύψος AD συναρτήσει των ακτίνων r, r_a του εγγεγραμμένου και A-παρεγγεγραμμένου κύκλου.
Ας δούμε και μια διαφορετική προσέγγιση στηριγμένη σε αρμονικότητα :)

α) Έστω L το σημείο τομής της στο F καθέτου προς την BC με την AI και E\equiv AI\cap BC και K το σημείο επαφής του έγκυκλου \left( I \right) με την BC . Τότε με
FL\parallel AD και M το μέσο της AD προκύπτει ότι η δέσμη F.AMDL είναι αρμονική , άρα και η σειρά \left( A,I,E,L \right) είναι αρμονική οπότε και η δέσμη B.AIEL είναι αρμονική και με BI τη διχοτόμο της \angle EBA\Rightarrow LB\bot BI δηλαδή η BL είναι η διχοτόμος της εξωτερικής γωνίας B\Rightarrow L\equiv {{I}_{a}} και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Διακτινικό ύψος.png
Διακτινικό ύψος.png (35.02 KiB) Προβλήθηκε 311 φορές
β) Από την αρμονική σειρά \left( {A,I,E,L} \right) \Rightarrow \dfrac{{AI}}{{AL}} = \dfrac{{EI}}{{EL}}\mathop  \Rightarrow \limits^{AD\parallel IK\parallel FL} \dfrac{{AM}}{{AM + LF}} = \dfrac{{IK}}{{LF}} \Rightarrow \dfrac{{\dfrac{{{\upsilon _a}}}{2}}}{{\dfrac{{{\upsilon _a}}}{2} + {r_a}}} = \dfrac{r}{{{r_a}}} \Rightarrow  \ldots \boxed{{\upsilon _a} = \dfrac{{2r \cdot {r_a}}}{{{r_a} - r}}}

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: sot arm και 2 επισκέπτες