Η μεσοκάθετος της διχοτόμου

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10671
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Η μεσοκάθετος της διχοτόμου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Φεβ 22, 2019 7:12 pm

Η  μεσοκάθετος της  διχοτόμου.png
Η μεσοκάθετος της διχοτόμου.png (16.55 KiB) Προβλήθηκε 340 φορές
Η μεσοκάθετος της διχοτόμου AD , τριγώνου \displaystyle ABC , τέμνει την προέκταση της CB

στο σημείο S . Δείξτε ότι το SA είναι εφαπτόμενο τμήμα του περικύκλου του τριγώνου .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6600
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Η μεσοκάθετος της διχοτόμου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Φεβ 22, 2019 7:53 pm

Μεσοκάθετος της διχοτόμου.png
Μεσοκάθετος της διχοτόμου.png (22.07 KiB) Προβλήθηκε 328 φορές
Αν η μεσοκάθετη της εκφώνησης τέμνει τις AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC στα E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z το τετράπλευρο AEDZ προφανώς είναι ρόμβος και άρα :

\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat C οπότε η SA εφάπτεται του κύκλου (A,B,C)


Altrian
Δημοσιεύσεις: 169
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Η μεσοκάθετος της διχοτόμου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Παρ Φεβ 22, 2019 7:57 pm

Εστω O το κέντρο του κύκλου, F=AD\cap (O,OA). Λόγω του ότι AD διχοτόμος της \angle A\Rightarrow FO μεσοκάθετη της BC.
\angle PSD=\angle AFO=\angle \phi (γωνίες με πλευρές κάθετες).
\angle ASP=\angle \phi=\angle FAO και αφού SP,AP κάθετες\Rightarrow SA,AO κάθετες δηλ. η SA είναι εφαπτομένη του κύκλου.
Συνημμένα
μεσοκαθετη σε διχοτομο.png
μεσοκαθετη σε διχοτομο.png (34.97 KiB) Προβλήθηκε 326 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1390
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Η μεσοκάθετος της διχοτόμου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Παρ Φεβ 22, 2019 11:46 pm

Σύμφωνα με το σχήμα του KARKAR.
Το τρίγωνο SAD είναι ισοσκελές λόγω ιδιότητας μεσοκαθέτου.
Άρα, γωνία SAD = γωνία SDA (1)
αλλά γωνία SAD = γωνία SAB + A/2 (2)
γωνία SDA = γωνία DCA + A/2 (3)

Από (1), (2) και (3) προκύπτει ότι
γωνία SAB = γωνία DCA
Από αντίστροφο θεωρήματος γωνίας χορδής και εφαπτομένης προκύπτε ότι η SA είναι εφαπτομένη του κύκλου.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8193
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Η μεσοκάθετος της διχοτόμου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Φεβ 23, 2019 9:02 am

Η διχοτόμος τέμνει τον περίκυκλο στο F και έστω EF η διάμετρος του κύκλου.
Μεσοκάθετος διχοτόμου.png
Μεσοκάθετος διχοτόμου.png (23.36 KiB) Προβλήθηκε 269 φορές
Λόγω της μεσοκαθέτου είναι \displaystyle S\widehat AD = A\widehat DS και \displaystyle D\widehat SM = M\widehat SA = \omega . Αλλά, E\widehat FA=D\widehat SM (οξείες με πλευρές κάθετες).

\displaystyle A\widehat CF = 90^\circ  - E\widehat CA = 90^\circ  - E\widehat FA = 90^\circ  - D\widehat SM = 90^\circ  - \omega  = S\widehat AD και το ζητούμενο έπεται.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες