Η μεσοκάθετος της διχοτόμου

KARKAR · #1

: Η μεσοκάθετος της διχοτόμου.png (16.55 KiB) Προβλήθηκε 656 φορές

, τριγώνου $\displaystyle ABC$ , τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

. Δείξτε ότι το

είναι εφαπτόμενο τμήμα του περικύκλου του τριγώνου .

#2

: Μεσοκάθετος της διχοτόμου.png (22.07 KiB) Προβλήθηκε 644 φορές

Αν η μεσοκάθετη της εκφώνησης τέμνει τις $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ στα $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z$ το τετράπλευρο AEDZ

προφανώς είναι ρόμβος και άρα :

$\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat C$ οπότε η

εφάπτεται του κύκλου (A,B,C)

Altrian · #3

Εστω

το κέντρο του κύκλου, $F=AD\cap (O,OA)$ . Λόγω του ότι

διχοτόμος της $\angle A\Rightarrow FO$ μεσοκάθετη της

.
$\angle PSD=\angle AFO=\angle \phi$ (γωνίες με πλευρές κάθετες).
$\angle ASP=\angle \phi=\angle FAO$ και αφού SP,AP

κάθετες $\Rightarrow SA,AO$ κάθετες δηλ. η

είναι εφαπτομένη του κύκλου.

Ανδρέας Πούλος · #4

Σύμφωνα με το σχήμα του KARKAR.
Το τρίγωνο SAD

είναι ισοσκελές λόγω ιδιότητας μεσοκαθέτου.
Άρα, γωνία SAD

= γωνία

(1)
αλλά γωνία SAD

= γωνία

+

(2)
γωνία SDA

= γωνία

+

(3)

Από (1), (2) και (3) προκύπτει ότι
γωνία SAB

= γωνία

Από αντίστροφο θεωρήματος γωνίας χορδής και εφαπτομένης προκύπτε ότι η SA είναι εφαπτομένη του κύκλου.

#5

Η διχοτόμος τέμνει τον περίκυκλο στο

και έστω

η διάμετρος του κύκλου.

: Μεσοκάθετος διχοτόμου.png (23.36 KiB) Προβλήθηκε 585 φορές

Λόγω της μεσοκαθέτου είναι $\displaystyle S\widehat AD = A\widehat DS$ και $\displaystyle D\widehat SM = M\widehat SA = \omega .$ Αλλά, $E\widehat FA=D\widehat SM$ (οξείες με πλευρές κάθετες).

$\displaystyle A\widehat CF = 90^\circ - E\widehat CA = 90^\circ - E\widehat FA = 90^\circ - D\widehat SM = 90^\circ - \omega = S\widehat AD$ και το ζητούμενο έπεται.

Η μεσοκάθετος της διχοτόμου

Η μεσοκάθετος της διχοτόμου

Re: Η μεσοκάθετος της διχοτόμου

Re: Η μεσοκάθετος της διχοτόμου

Re: Η μεσοκάθετος της διχοτόμου

Re: Η μεσοκάθετος της διχοτόμου

Μέλη σε σύνδεση