Από μέγιστο ορθογώνιο σε τετράγωνο

#1

: Μέγιστο εμβαδόν ορθογωνίου.png (7.44 KiB) Προβλήθηκε 910 φορές

Στο εσωτερικό ορθογωνίου ABCD

υπάρχει σημείο

ώστε

Α) Να αποδείξετε ότι το μήκος του

είναι πρώτος αριθμός και να βρείτε το ορθογώνιο με το μέγιστο εμβαδόν.

Β) Πόσο είναι το εμβαδόν αν το ABCD

είναι τετράγωνο;

KARKAR · #2

: Τετράγωνο.png (13.44 KiB) Προβλήθηκε 880 φορές

Το πρώτο ερώτημα υπάρχει και στο σχολικό : 19^2+7^2=17^2+11^2

Στην περίπτωση που το ABCD

είναι τετράγωνο , υπολογίζουμε από το τρίγωνο

PSB

, το $\cos\theta$ και από το $cos(45+\theta)$ , στο τρίγωνο CPB

υπολογίζουμε το a^2

.

Παραλείποντας τις ανιαρές πράξεις , καταλήγουμε ότι : $E= a^2=205+7\sqrt{217}\simeq 308.116$ .

Το δύσκολο ερώτημα είναι το

, νομίζω όμως ότι το έχουμε ξανασυναντήσει ,

αλλά ας το αναμοχλεύσουμε ...

Για το μέγιστο εμβαδόν του ορθογωνίου θα βρούμε : $E_{max}=320=7\cdot19+11\cdot17$ ,

όπως προκύπτει από εδώ , 6η ανάρτηση : "Ένδοξη κατάληξη μιας άσκησης "

Altrian · #3

Καλημέρα. Για το μέγιστο εμβαδό (δεύτερη προσπάθεια):
Δημιουργώ τρίγωνο $\triangle DCF=\triangle ABP$ . Εχουμε ότι: (ABCD)/2=(DPC)+(APB)=(DPCF)

. Το τετράπλευρο DPCF

έχει δεδομένα τα μήκη των πλευρών του και ζητάμε την μεγιστοποίηση του εμβαδού του. Αυτό συμβαίνει όταν είναι εγγράψιμο.
Το εμβαδό εγγεγραμμένου τετράπλευρου δίνεται από τον τύπο του Brahmagupta: $E=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$ όπου a,b,c,d

οι πλευρές του και

η ημιπερίμετρος.
Ετσι παίρνουμε $(DPCF)=160\Rightarrow (ABCD)=2*160=320$

#4

Altrian έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 28, 2019 9:14 am
Καλημέρα. Για το μέγιστο εμβαδό (δεύτερη προσπάθεια):
Δημιουργώ τρίγωνο $\triangle DCF=\triangle ABP$ . Εχουμε ότι: . Το τετράπλευρο έχει δεδομένα τα μήκη των πλευρών του και ζητάμε την μεγιστοποίηση του εμβαδού του. Αυτό συμβαίνει όταν είναι εγγράψιμο.
Το εμβαδό εγγεγραμμένου τετράπλευρου δίνεται από τον τύπο του Brahmagupta: $E=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$ όπου οι πλευρές του και η ημιπερίμετρος.
Ετσι παίρνουμε $(DPCF)=160\Rightarrow (ABCD)=2*160=320$

Έτσι ακριβώς Αλέξανδρε

Έχω παρόμοια λύση. Θα την γράψω αν δεν δοθεί.

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 27, 2019 3:20 pm

Για το μέγιστο εμβαδόν του ορθογωνίου θα βρούμε : $E_{max}=320=7\cdot19+11\cdot17$ ,

όπως προκύπτει από εδώ , 6η ανάρτηση : "Ένδοξη κατάληξη μιας άσκησης "

Θανάση, δεν βλέπω να υπάρχει στην παραπομπή, εκτός από έναν αυθαίρετο τύπο, λύση αυτής της άσκησης όπως έχει δοθεί .

Αν όμως εννοείς την απόδειξη των Eugen J. Ionascu και Pantelimon Stanica στην παραπομπή της παραπομπής, θα έλεγα ότι

είναι μια κουραστική και ανούσια τετρασέλιδη απόδειξη που δυσκολεύτηκα να την παρακολουθήσω. Χρησιμοποιούν όλο τον

βαρύ οπλισμό (Ανάλυση, Αναλυτική Γεωμετρία και Τριγωνομετρία) για ένα τόσο απλό πρόβλημα. Κοινώς, σκοτώνουν κουνούπια

με μπαζούκας. Η λύση του Αλέξανδρου είναι υπόδειγμα απλότητας.

#6

Καλό μήνα σε όλους!

Η λύση που υποσχέθηκα για το

.

: Μέγιστο εμβαδόν ορθογωνίου.ΙΙ.png (22.26 KiB) Προβλήθηκε 688 φορές

$\displaystyle (ABCD) = 2(KLMN) = LN \cdot KM$

Αλλά το KLMN

που έχει σταθερά μήκη πλευρών μεγιστοποιείται όταν καταστεί εγγράψιμο.

Τότε ο Πτολεμαίος δίνει: $LN\cdot KM=xz+yt.$ Άρα, $\boxed{{(ABCD)_{\max }} = xz + yt}$

Από μέγιστο ορθογώνιο σε τετράγωνο

Από μέγιστο ορθογώνιο σε τετράγωνο

Re: Από μέγιστο ορθογώνιο σε τετράγωνο

Re: Από μέγιστο ορθογώνιο σε τετράγωνο

Re: Από μέγιστο ορθογώνιο σε τετράγωνο

Re: Από μέγιστο ορθογώνιο σε τετράγωνο

Re: Από μέγιστο ορθογώνιο σε τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση