Αναμενόμενη συνευθειακότητα
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
Αναμενόμενη συνευθειακότητα
Με κέντρο το και ακτίνα γράφω κύκλο που τέμνει (ακόμα ) την μεν στο τον δε στο .
Αν το σημείο τομής των , δείξετε ότι οι τέμνονται πάνω στον κύκλο
Δεκτές λύσεις εντός ή εκτός φακέλου .
Λέξεις Κλειδιά:
- ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
- Δημοσιεύσεις: 141
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm
Re: Αναμενόμενη συνευθειακότητα
Αρκεί να δείξουμε ότι
Είναι
Απο το φέρω τις κάθετες και στις και αντίστοιχα.
Επειδή και , τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι ίσα , οπότε .
Επειδή τα τρίγωνα και έχουν , κοινή και άρα ίσα.
Τα τρίγωνα και έχουν κοινή, και άρα ίσα, άρα .
Είναι
Απο το φέρω τις κάθετες και στις και αντίστοιχα.
Επειδή και , τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι ίσα , οπότε .
Επειδή τα τρίγωνα και έχουν , κοινή και άρα ίσα.
Τα τρίγωνα και έχουν κοινή, και άρα ίσα, άρα .
- Συνημμένα
-
- Capture.PNG (47.19 KiB) Προβλήθηκε 768 φορές
τελευταία επεξεργασία από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ σε Παρ Μαρ 01, 2019 6:26 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13265
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Αναμενόμενη συνευθειακότητα
Έστω το σημείο τομής της με τον κύκλο θα δείξω ότι τα είναι συνευθειακά. Αρκεί να δείξω ότι Από το εγγεγραμμένο είναι κι επειδή
θα είναι και Αλλά, οπότε και
άρα το είναι εγγράψιμο, ομοίως και το
Εύκολα τώρα, και οπότε τα τρίγωνα είναι ίσα (Π-Π-Π) και
Re: Αναμενόμενη συνευθειακότητα
Επειδή η άσκηση φτιάχτηκε με τη βοήθεια των εργαλείων της αντιστροφής , δίδω τη λύση που προέκυψε απ αυτά.
γιατί οι ακτίνες του κύκλου , είναι ίσες , δηλαδή οι χορδές ( άρα και τα τόξα) του κύκλου είναι ίσες.
Αλλά στο ισοσκελές τρίγωνο είναι , έτσι λόγω της έχω: . Η σχέση αυτή μα εξασφαλίζει ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο .
Θέτω τώρα :
Στην αντιστροφή με πόλο και δύναμη αντιστροφής
1. Ο κύκλος μένει αναλλοίωτος ( καθώς και ο κύκλος )
2. Ο κύκλος έχει εικόνα την ευθεία αφού λόγω της οι εικόνες των είναι τα
Το δε σημείο και στις δύο αντιστροφές έχει την ίδια εικόνα , έστω , που ανήκει στον κύκλο και στην ευθεία .
Παρατήρηση :
Ο μπλε κύκλος είναι ο κύκλος αντιστροφής, (κέντρου κι ακτίνας .)
γιατί οι ακτίνες του κύκλου , είναι ίσες , δηλαδή οι χορδές ( άρα και τα τόξα) του κύκλου είναι ίσες.
Αλλά στο ισοσκελές τρίγωνο είναι , έτσι λόγω της έχω: . Η σχέση αυτή μα εξασφαλίζει ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο .
Θέτω τώρα :
Στην αντιστροφή με πόλο και δύναμη αντιστροφής
1. Ο κύκλος μένει αναλλοίωτος ( καθώς και ο κύκλος )
2. Ο κύκλος έχει εικόνα την ευθεία αφού λόγω της οι εικόνες των είναι τα
Το δε σημείο και στις δύο αντιστροφές έχει την ίδια εικόνα , έστω , που ανήκει στον κύκλο και στην ευθεία .
Παρατήρηση :
Ο μπλε κύκλος είναι ο κύκλος αντιστροφής, (κέντρου κι ακτίνας .)
-
- Δημοσιεύσεις: 2762
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Αναμενόμενη συνευθειακότητα
Λόγω ισότητας των μαύρων γωνιών θα είναικαι άρα
Έτσι, εγγράψιμο εγγράψιμο
Είναι, εγγράψιμο που αποδεικνύει το ζητούμενο
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες