Διέρχεται από το μέσο της χορδής

Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7701
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Διέρχεται από το μέσο της χορδής

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μαρ 14, 2019 6:24 pm

Διέρχεται από το μέσο της χορδής.png
Διέρχεται από το μέσο της χορδής.png (19.63 KiB) Προβλήθηκε 258 φορές
Δύο κύκλοι (O), (K) τέμνονται στα σημεία A, B. Από σημείο P στην προέκταση του BA φέρνουμε

τα εφαπτόμενα τμήματα PC, PD του κύκλου (O). Αν οι CA, AD τέμνουν τον κύκλο (K) στα E, F,

να δείξετε ότι η CD διέρχεται από το μέσο της χορδής EF.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3873
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Διέρχεται από το μέσο της χορδής

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Μαρ 14, 2019 8:53 pm

george visvikis έγραψε:
Πέμ Μαρ 14, 2019 6:24 pm
Διέρχεται από το μέσο της χορδής.png
Δύο κύκλοι (O), (K) τέμνονται στα σημεία A, B. Από σημείο P στην προέκταση του BA φέρνουμε

τα εφαπτόμενα τμήματα PC, PD του κύκλου (O). Αν οι CA, AD τέμνουν τον κύκλο (K) στα E, F,

να δείξετε ότι η CD διέρχεται από το μέσο της χορδής EF.
Ωραίο πρόβλημα Γιώργο :coolspeak:

Θα το αφήσω για σήμερα να το δουν και άλλοι και θα επανέλθω αύριο με μια εύκολη (σχεδόν στοιχειώδη λύση)
Βλέπω το κοιτάζει και ο Σιλουανός (Ξέρεις πως βλέπει αυτός!!!!!!!! τη συμμετροδιάμεσο !!!!!!! :shock: )


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
gavrilos
Δημοσιεύσεις: 1032
Εγγραφή: Παρ Δεκ 07, 2012 4:11 pm

Re: Διέρχεται από το μέσο της χορδής

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gavrilos » Πέμ Μαρ 14, 2019 11:56 pm

Καλησπέρα.

Μια όχι στοιχειώδης λύση.

\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=0.8cm,y=0.8cm] 
\clip(-6,-3.) rectangle (7.,6.); 
\draw [line width=0.8pt] (0.,0.) circle (2.4cm); 
\draw [line width=0.8pt] (4.,0.) circle (1.6cm); 
\draw [line width=1.6pt,color=blue] (-1.174724549812082,2.7604387752799013)-- (5.97764299244939,0.29820830708721546); 
\draw [line width=0.8pt] (3.672336283273748,-1.9729765555477687)-- (2.625,1.4523687548277813); 
\draw [line width=0.8pt] (2.625,-1.4523687548277815)-- (2.625,4.3774388519200045); 
\draw [line width=0.8pt] (2.625,4.3774388519200045)-- (2.988363397057662,0.26397766406646617); 
\draw [line width=0.8pt] (2.625,4.3774388519200045)-- (-1.174724549812082,2.7604387752799013); 
\draw [line width=0.8pt] (3.672336283273748,-1.9729765555477687)-- (5.97764299244939,0.29820830708721546); 
\draw [line width=1.6pt,color=blue] (-1.174724549812082,2.7604387752799013)-- (2.988363397057662,0.26397766406646617); 
\draw [line width=0.8pt,dash pattern=on 2pt off 2pt] (2.988363397057662,0.26397766406646617)-- (4.824989637861568,-0.8373841242302758); 
\draw [line width=0.8pt] (3.672336283273748,-1.9729765555477687)-- (-2.742615609512974,1.215754752594361); 
\draw [line width=1.6pt,color=blue] (-2.742615609512974,1.215754752594361)-- (-1.174724549812082,2.7604387752799013); 
\draw [line width=0.8pt] (-2.742615609512974,1.215754752594361)-- (2.988363397057662,0.26397766406646617); 
\draw [line width=1.6pt,color=blue] (-1.174724549812082,2.7604387752799013)-- (3.672336283273748,-1.9729765555477687); 
\draw [line width=0.8pt] (-1.174724549812082,2.7604387752799013)-- (1.4379993570962422,5.334490620093502); 
\draw [line width=0.8pt] (2.625,1.4523687548277813)-- (1.4379993570962422,5.334490620093502); 
\begin{scriptsize} 
\draw [fill=black] (2.625,1.4523687548277813) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color: black"> (2.25,1.3043959247481673) node {A}; 
\draw [fill=black] (2.625,-1.4523687548277815) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color: black"> (2.3,-1.55) node {B}; 
\draw [fill=black] (2.625,4.3774388519200045) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color: black"> (2.7765559004521285,4.6714788784559165) node {P}; 
\draw [fill=black] (2.988363397057662,0.26397766406646617) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color: black"> (3.2,0.5697596439392039) node {D}; 
\draw [fill=black] (-1.174724549812082,2.7604387752799013) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color: black"> (-1.2027239539297565,3.2226128801937937) node {C}; 
\draw [fill=black] (3.672336283273748,-1.9729765555477687) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color: black"> (3.674444688107528,-2.2463460991618227) node {F}; 
\draw [fill=black] (5.97764299244939,0.29820830708721546) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color: black"> (6.123232290804072,0.5901662072950085) node {E}; 
\draw [fill=black] (4.824989637861568,-0.8373841242302758) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color: black"> (5.184530376437063,-0.8) node {M}; 
\draw [fill=black] (-2.742615609512974,1.215754752594361) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color: black"> (-2.9985015292405555,1.5492746850178216) node {G}; 
\draw [fill=black] (1.4379993570962422,5.334490620093502) circle (1.5pt); 
\draw<span style="color: black"> (1.5725686624596606,5.630587356178729) node {Q}; 
\end{scriptsize} 
\end{tikzpicture}

Έστω G το σημείο τομής της BF με τον (O) και Q το σημείο τομής των AF,GC.Το τετράπλευρο ACBD είναι αρμονικό αφού οι εφαπτομένες στα C,D τέμνονται πάνω στη διαγώνιο AB.Επομένως η δέσμη (GB,GA/GD,DC) είναι αρμονική,οπότε τα σημεία F,A είναι συζυγή αρμονικά των D,Q.Έπεται ότι η δέσμη (CF,CA/CD,CQ) είναι αρμονική.Όμως,όπως εύκολα μπορούμε να δούμε (είναι και άσκηση στο σχολικό βιβλίο της Α' Λυκείου) ισχύει FE\parallel CQ οπότε,από γνωστό θεώρημα,το M είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος FE.


Αν τα γεγονότα δεν συμφωνούν με τη θεωρία, τότε αλίμονο στα γεγονότα.

Albert Einstein
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3873
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Διέρχεται από το μέσο της χορδής

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Παρ Μαρ 15, 2019 12:33 am

george visvikis έγραψε:
Πέμ Μαρ 14, 2019 6:24 pm
Διέρχεται από το μέσο της χορδής.png
Δύο κύκλοι (O), (K) τέμνονται στα σημεία A, B. Από σημείο P στην προέκταση του BA φέρνουμε

τα εφαπτόμενα τμήματα PC, PD του κύκλου (O). Αν οι CA, AD τέμνουν τον κύκλο (K) στα E, F,

να δείξετε ότι η CD διέρχεται από το μέσο της χορδής EF.
Διαφορετικά ...

Αν N είναι το μέσο της CD τότε BAP η συμμετροδιάμεσος του \vartriangle BCD (γνωστή πρόταση). Από εγγράψιμα τετράπλευρα προκύπτει εύκολα (γωνιακά η ομοιότητα των τριγώνων \vartriangle BFE και \vartriangle CDB με ομόλογες (λόγω της ισότητας των γωνιών \angle EBM,\angle CBM αντίστοιχα ) τις BM,BN και με BN τη διάμεσο του \vartriangle CDB θα είναι και BM διάμεσος του \vartriangle BFE και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6272
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Διέρχεται από το μέσο της χορδής

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Μαρ 17, 2019 2:21 am

Έστω ότι η CB τέμνει το κύκλο (K) στο Z. Η πολική του P, στον κύκλο (O), τέμνει την AB στο S και την ευθεία της διακέντρου στο T.

Τότε η πολική του T θα είναι η AB και συνεπώς στο \vartriangle ABC η CS είναι συμμετροδιάμεσος

οπότε θα διέρχεται από το μέσο N της EZπου είναι αντιπαράλληλης της AB.

Αλλά η ZF//CM άρα το M μέσο της EF.

Η παραλληλία των ZF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CM προκύπτει με απλό κυνήγι γωνιών:
Διέρχεται απο το μέσο της χοεδής _Bisbik.png
Διέρχεται απο το μέσο της χοεδής _Bisbik.png (51.04 KiB) Προβλήθηκε 88 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_6}} + \widehat {{a_7}} = \widehat {{a_6}} + \widehat {{a_4}} = \widehat {{a_6}} + \widehat {{a_5}} \hfill \\ 
  \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_6}} + \widehat {{a_5}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} \Rightarrow ZF//NM


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Αρχιμήδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες