Απουσία αρμονίας

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10398
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Απουσία αρμονίας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Μαρ 16, 2019 9:34 am

Απουσία  αρμονίας.png
Απουσία αρμονίας.png (10.57 KiB) Προβλήθηκε 140 φορές
Το ύψος AD χωρίζει τη βάση BC , τριγώνου \displaystyle ABC , σε τμήματα BD= k και DC=m , m>k .

Φέρουμε : DE \perp AB , DZ \perp AC . Οι προεκτάσεις των ZE , CB τέμνονται στο S . Υπολογίστε

το τμήμα x= SB και εξετάστε αν είναι δυνατόν τα σημεία D,S , να είναι συζυγή αρμονικά των B , C .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6272
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Απουσία αρμονίας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Μαρ 16, 2019 10:52 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Μαρ 16, 2019 9:34 am
Απουσία αρμονίας.pngΤο ύψος AD χωρίζει τη βάση BC , τριγώνου \displaystyle ABC , σε τμήματα BD= k και DC=m , m>k .

Φέρουμε : DE \perp AB , DZ \perp AC . Οι προεκτάσεις των ZE , CB τέμνονται στο S . Υπολογίστε

το τμήμα x= SB και εξετάστε αν είναι δυνατόν τα σημεία D,S , να είναι συζυγή αρμονικά των B , C .
\boxed{x = \frac{{{k^2}}}{{m - k}}}

Αρμονία δεν υπάρχει αφού τότε θα έπρεπε : \dfrac{k}{m} = \dfrac{{{k^2}}}{{{m^2}}} \Rightarrow m = k που έρχεται σε αντίφαση με την υπόθεση .

Edit: Άρση απόκρυψης
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Σάβ Μαρ 16, 2019 11:43 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7701
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Απουσία αρμονίας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μαρ 16, 2019 11:14 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Μαρ 16, 2019 9:34 am
Απουσία αρμονίας.pngΤο ύψος AD χωρίζει τη βάση BC , τριγώνου \displaystyle ABC , σε τμήματα BD= k και DC=m , m>k .

Φέρουμε : DE \perp AB , DZ \perp AC . Οι προεκτάσεις των ZE , CB τέμνονται στο S . Υπολογίστε

το τμήμα x= SB και εξετάστε αν είναι δυνατόν τα σημεία D,S , να είναι συζυγή αρμονικά των B , C .
Απουσία αρμονίας.png
Απουσία αρμονίας.png (12.13 KiB) Προβλήθηκε 118 φορές
Μενέλαος στο ABC με διατέμνουσα \displaystyle \overline {SEZ} , \boxed{\frac{{AE}}{{EB}} \cdot \frac{x}{{x + k + m}} \cdot \frac{{ZC}}{{AZ}} = 1} (1)

Αλλά, \displaystyle \frac{{AE}}{{AZ}} = \frac{b}{c},{k^2} = cEB,{m^2} = bZC \Rightarrow \frac{{AE}}{{AZ}} \cdot \frac{{ZC}}{{EB}} = \frac{{{m^2}}}{{{k^2}}}\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} \frac{x}{{x + k + m}} = \frac{{{k^2}}}{{{m^2}}} \Leftrightarrow \boxed{x = \frac{{{k^2}}}{{m - k}}}

Δεν μπορεί να είναι συζυγή αρμονικά γιατί τότε θα ήταν \displaystyle \frac{k}{m} = \frac{x}{{x + k + m}} = \frac{{{k^2}}}{{{m^2}}} \Leftrightarrow k = m που είναι άτοπο από την υπόθεση.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3873
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Απουσία αρμονίας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Μαρ 16, 2019 11:52 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Μαρ 16, 2019 9:34 am
Απουσία αρμονίας.pngΤο ύψος AD χωρίζει τη βάση BC , τριγώνου \displaystyle ABC , σε τμήματα BD= k και DC=m , m>k .

Φέρουμε : DE \perp AB , DZ \perp AC . Οι προεκτάσεις των ZE , CB τέμνονται στο S . Υπολογίστε

το τμήμα x= SB και εξετάστε αν είναι δυνατόν τα σημεία D,S , να είναι συζυγή αρμονικά των B , C .
Εύκολα διαπιστώνουμε ότι τα σημεία B,C,Z,E είναι ομοκυκλικά (όπως φυσικά και τα E,A,Z,D με SD εφαπτομενικό τμήμα στον δεύτερο κύκλο. Αρα SB\cdot SC=SE\cdot SZ=S{{D}^{2}}\Rightarrow x\left( x+k+m \right)={{\left( x+k \right)}^{2}}\Rightarrow \ldots x=\dfrac{{{k}^{2}}}{m-k}

Για να υπάρχει αρμονικότητα στην δοσμένη τετράδα θα πρέπει οι BZ,CE να τέμνονται επί του ύψους AD (όπως προκύπτει από το αντίστοιχο πλήρες τετράπλευρο) οπότε από το Θεώρημα Ceva θα ίσχυε \dfrac{AE}{EB}\cdot \dfrac{DB}{DC}\cdot \dfrac{ZC}{ZA}=1\Leftrightarrow \dfrac{A{{D}^{2}}}{{{k}^{2}}}\cdot \dfrac{k}{m}\cdot \dfrac{{{m}^{2}}}{A{{D}^{2}}}=1\Leftrightarrow k=m πράγμα άτοπο από την υπόθεση


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6272
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Απουσία αρμονίας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Μαρ 16, 2019 3:31 pm

Φέρνω το ύψος BT που τέμνει την ευθεία \overline {SEZ} στο σημείο M. Επειδή προφανώς :

\left\{ \begin{gathered} 
  \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_3}}\,\,,\,\,\kappa \alpha \theta \varepsilon \tau \varepsilon \varsigma \,\,\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho \varepsilon \varsigma  \hfill \\ 
  \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}\,\,,\,\,\tau o\,\,\varepsilon \iota \nu \alpha \iota \,\,AEDZ\,\,\,\varepsilon \gamma \gamma \rho \alpha \psi \iota \mu o\, \hfill \\  
\end{gathered}  \right. θα είναι \boxed{\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}}

Συνεπώς και το τετράπλευρο MDBC είναι εγγράψιμο και άρα MD \bot MB.

Αν λοιπόν P το συμμετρικό του C ως προς το D και N η προβολή του στην BT

Αβίαστα προκύπτουν:

\left\{ \begin{gathered} 
  CD = DP = k \hfill \\ 
  PB = m - k \hfill \\ 
  ED// = TM = MN \hfill \\ 
  MEDN\,\,\pi \alpha \rho \alpha \lambda \lambda \eta \lambda o\gamma \rho \alpha \mu \mu o \hfill \\  
\end{gathered}  \right.
Απουσία αρμονίας.png
Απουσία αρμονίας.png (30.07 KiB) Προβλήθηκε 76 φορές
Έτσι : τα ζεύγη των τριγώνων :\left\{ \begin{gathered} 
  (ECD,\,\,NPB) \hfill \\ 
  (ESC,\,\,NDP) \hfill \\  
\end{gathered}  \right. είναι όμοια οπότε:

\dfrac{{SC}}{{DP}} = \dfrac{{CD}}{{PB}} \Rightarrow \dfrac{x}{k} = \dfrac{k}{{m - k}} \Rightarrow \boxed{x = \frac{{{k^2}}}{{m - k}}} τα υπόλοιπα ειπώθηκαν .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες