Σελίδα 1 από 1

Ακραία μεγιστοποίηση

Δημοσιεύτηκε: Παρ Μαρ 29, 2019 2:57 pm
από KARKAR
Ακραία μεγιστοποίηση.png
Ακραία μεγιστοποίηση.png (11.71 KiB) Προβλήθηκε 315 φορές
Η πλευρά AB=c , ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC είναι σταθερή , ενώ η AC μεταβάλλεται .

Το ύψος AD τέμνει τη διάμεσο BM στο σημείο P ενώ η κάθετη από το A προς την BM ,

τέμνει την υποτείνουσα BC στο σημείο S . Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του (PESD) .

Re: Ακραία μεγιστοποίηση

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Μαρ 30, 2019 1:37 am
από Doloros
KARKAR έγραψε:
Παρ Μαρ 29, 2019 2:57 pm
Ακραία μεγιστοποίηση.pngΗ πλευρά AB=c , ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC είναι σταθερή , ενώ η AC μεταβάλλεται .

Το ύψος AD τέμνει τη διάμεσο BM στο σημείο P ενώ η κάθετη από το A προς την BM ,

τέμνει την υποτείνουσα BC στο σημείο S . Υπολογίστε την μέγιστη τιμή του (PESD) .
Στο τρίγωνο BAS το P είναι ορθόκεντρο και άρα η SPείναι ο φορέας του τρίτου ύψους , οπότε αν T η τομή των SP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB θα είναι ST \bot AB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,SP = PT.

Αν K το μέσο του AB ο κύκλος διαμέτρου AB διέρχεται από τα D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E.

Ας είναι KN το απόστημα στη χορδή DE. Προφανώς το μέγιστο μήκος DEεπιτυγχάνεται όταν το απόστημα KN γίνει ελάχιστο δηλαδή T \equiv K

Από την άλλη μεριά το μέγιστο μήκος PS = TP προκύπτει όταν η ευθεία TP ταυτιστεί με το μικρό άξονα της έλλειψης που διαγράφει το P, μέσο του ST.
Ακραίο μέγιστο.png
Ακραίο μέγιστο.png (30.4 KiB) Προβλήθηκε 251 φορές
Το ότι το P μέσο του καθέτου, στην AB, τμήματος ST διαγράφει έλλειψη με μεγάλο άξονα την AB μπορούμε να το δείξουμε με Αναλυτική Γεωμετρία

Εν κατακλείδι οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου PESD μεγιστοποιούνται όταν είναι κάθετες μεταξύ τους και μεγιστοποιείται το εμβαδόν (PESD) = \dfrac{1}{2}PS \cdot DE .

Τότε το E είναι βαρύκεντρο του \vartriangle ABC το δε P μέσο του BM.

\left\{ \begin{gathered} 
  PS = \frac{1}{2}MC = \frac{1}{4}AC = \frac{1}{4}c\sqrt 2  \hfill \\ 
  DE = \frac{1}{3}c \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{{{(PESD)}_{\max }} = \frac{{{c^2}\sqrt 2 }}{{24}}}

Ακραίο μέγιστο_απάντηση.png
Ακραίο μέγιστο_απάντηση.png (20.61 KiB) Προβλήθηκε 250 φορές

Re: Ακραία μεγιστοποίηση

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Μαρ 30, 2019 6:33 pm
από Altrian
Στην εξαιρετική λύση του Doloros θα ήθελα να προσθέσω μια τεκμηρίωση για την ταυτόχρονη μεγιστοποίηση των PS,DE.

Δείχθηκε ότι τo PS \rightarrow max όταν αυτή διέρχεται από το μέσο της AB. Τότε AC=c\sqrt{2} και η DE είναι μεν κάθετη στην PS.. Είναι όμως και μέγιστη ;

Είναι γνωστό (;) ότι σε ορθογώνιο τρίγωνο η \angle MBC\rightarrow max όταν ισχύει ότι AC=c\sqrt{2} κάτι που εδώ ισχύει. Επομένως η χορδή DE γίνεται επίσης μέγιστη (σταθερός κύκλος (K,c/2)) ταυτόχρονα με την PS.

Αρα εκεί έχουμε και το ζητούμενο μέγιστο εμβαδό.