Σταθερό και κινητό σημείο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11710
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Σταθερό και κινητό σημείο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Μάιος 01, 2019 8:10 pm

Σταθερό  και κινητό  σημείο.png
Σταθερό και κινητό σημείο.png (13.99 KiB) Προβλήθηκε 326 φορές
Σημείο A κινείται στη μεσοκάθετο τμήματος BC . Ο έγκυκλος του τριγώνου \displaystyle ABC

εφάπτεται των πλευρών BC,AC,AB στα σημεία M,D,E αντίστοιχα .

Ονομάζω S την τομή του εγκύκλου με το τμήμα BD .

α) Δείξτε ότι η ευθεία ES διέρχεται από σταθερό σημείο .

β) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του ( κινητού ) σημείου S .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5492
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Σταθερό και κινητό σημείο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τετ Μάιος 01, 2019 9:30 pm

Έστω L \equiv ME \cap BD,\,\;G \equiv MS \cap BE. Παρατηρούμε ότι \displaystyle{\vartriangle BME \sim \vartriangle MDE,\;\;\angle SMB = \angle LDM \Rightarrow \frac{{ML}}{{LE}} = \frac{{GB}}{{EG}}.}
Επομένως \frac{{BT}}{{TM}} \cdot \frac{{ML}}{{LE}} \cdot \frac{{EG}}{{GB}} = 1 \Rightarrow BT = TM, αν T \equiv ES \cap BM.

Στην συνέχεια παίρνουμε TS \cdot TE = \frac{{B{M^2}}}{4},\;ct, που σημαίνει ότι το σημείο S θα ανήκει στον σταθερό κύκλο,
που είναι η αντίστροφη γραμμή του σταθερού κύκλου (B,BM=BE) με λόγο αντιστροφής \frac{{B{M^2}}}{4},\;ct.
καρκαρ.png
καρκαρ.png (17.92 KiB) Προβλήθηκε 297 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7340
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Σταθερό και κινητό σημείο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Μάιος 02, 2019 1:57 am

Έστω E το άλλο σημείο επαφής . Το τετράπλευρο DESM είναι αρμονικό και άρα η τετράδα (B,H\backslash S,D) είναι αρμονική.

Έτσι η δέσμη : E(B,H\backslash S,D) είναι αρμονική κι αφού BM//ED η ES θα διέρχεται από το σταθερό μέσο K του BM.

Έστω τώρα P το ( μεταβλητό) σημείο που ο κύκλος τέμνει τη σταθερή μεσοκάθετο του BC. Η ευθεία PS τέμνει τη BCστο σημείο L.

Επειδή το P είναι μέσο του τόξου χορδής ED η SP διχοτομεί τη γωνία \widehat {DSE} και προφανώς και τη κατακορυφήν της \widehat {BSK}.
Σταθερό και κινητό σημείο.png
Σταθερό και κινητό σημείο.png (34.38 KiB) Προβλήθηκε 267 φορές
Η τετράδα : (B,K\backslash L,M) είναι αρμονική με λόγο συζυγίας, \boxed{\frac{{LK}}{{LB}} = \frac{{MK}}{{MB}} = \frac{1}{2}} .

Δηλαδή το L είναι κι αυτό σταθερό σημείο . Το S θα ανήκει στον κύκλο διαμέτρου

BL ενώ ο ζητούμενος τόπος είναι το άνω ημικύκλιο αυτού χωρίς τα άκρα B,L


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης