Τέμνουσα ισοπλεύρου

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6492
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Τέμνουσα ισοπλεύρου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Μάιος 04, 2019 1:54 pm

Τέμνουσα ισοπλεύρου.png
Τέμνουσα ισοπλεύρου.png (10.75 KiB) Προβλήθηκε 127 φορές

Δίδεται ισόπλευρο τρίγωνο ABC .

Ευθεία τέμνει τις AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC στα E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,K, έτσι ώστε ταυτόχρονα:

\left\{ \begin{gathered} 
  KE = KC\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\, \hfill \\ 
  (AEK) = \frac{5}{{18}}(ABC) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Μπορείτε να την κατασκευάσετε;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8061
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τέμνουσα ισοπλεύρου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μάιος 04, 2019 5:19 pm

Doloros έγραψε:
Σάβ Μάιος 04, 2019 1:54 pm
Τέμνουσα ισοπλεύρου.png


Δίδεται ισόπλευρο τρίγωνο ABC .

Ευθεία τέμνει τις AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC στα E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,K, έτσι ώστε ταυτόχρονα:

\left\{ \begin{gathered} 
  KE = KC\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\, \hfill \\ 
  (AEK) = \frac{5}{{18}}(ABC) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Μπορείτε να την κατασκευάσετε;
Τέμνουσα ισοπλεύρου.png
Τέμνουσα ισοπλεύρου.png (9.37 KiB) Προβλήθηκε 90 φορές
Με τους συμβολισμούς του σχήματος έχω, \displaystyle \frac{{(AEK)}}{{(ABC)}} = \frac{5}{{18}} \Leftrightarrow \frac{{(a - x)(a - y)}}{{{a^2}}} = \frac{5}{{18}} \Leftrightarrow \boxed{x = \frac{{13{a^2} - 18ay}}{{18(a - y)}}} (1)

και με νόμο συνημιτόνου στο AEK, \displaystyle {x^2} = {(a - x)^2} + {(a - y)^2} - (a - x)(a - y) \Leftrightarrow \boxed{x = \frac{{{a^2} + {y^2} - ay}}{{a + y}}} (2)

Από (1), (2), \displaystyle \frac{{13{a^2} - 18ay}}{{18(a - y)}} = \frac{{{a^2} + {y^2} - ay}}{{a + y}} \Leftrightarrow (3y - a)(6{y^2} - 16ay + 5{a^2}) = 0,0 < y < a,

απ' όπου \boxed{y=\frac{a}{3}} ή \boxed{y = \frac{a}{6}\left( {8 - \sqrt {34} } \right)} Άρα υπάρχουν δύο θέσεις του σημείου E (πολύ κοντά η μία στην άλλη),

που σημαίνει ότι το πρόβλημα έχει δύο λύσεις. Το σημείο τομής της AC με τη μεσοκάθετο της EC είναι το K.

Παρατήρηση: Είναι εντυπωσιακό το γεγονός ότι οι δύο θέσεις του E διαφέρουν μόλις κατά 0,028a.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Laplace-Gauss και 2 επισκέπτες