Τέμνουσα ισοπλεύρου

#1

: Τέμνουσα ισοπλεύρου.png (10.75 KiB) Προβλήθηκε 465 φορές

Δίδεται ισόπλευρο τρίγωνο ABC

.

Ευθεία τέμνει τις $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ στα $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,K$ , έτσι ώστε ταυτόχρονα:

$\left\{ \begin{gathered} KE = KC\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\, \hfill \\ (AEK) = \frac{5}{{18}}(ABC) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Μπορείτε να την κατασκευάσετε;

#2

Doloros έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 04, 2019 1:54 pm
Τέμνουσα ισοπλεύρου.png

Δίδεται ισόπλευρο τρίγωνο .

Ευθεία τέμνει τις $AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ στα $E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,K$ , έτσι ώστε ταυτόχρονα:

$\left\{ \begin{gathered} KE = KC\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\, \hfill \\ (AEK) = \frac{5}{{18}}(ABC) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Μπορείτε να την κατασκευάσετε;

: Τέμνουσα ισοπλεύρου.png (9.37 KiB) Προβλήθηκε 428 φορές

Με τους συμβολισμούς του σχήματος έχω, $\displaystyle \frac{{(AEK)}}{{(ABC)}} = \frac{5}{{18}} \Leftrightarrow \frac{{(a - x)(a - y)}}{{{a^2}}} = \frac{5}{{18}} \Leftrightarrow$ $\boxed{x = \frac{{13{a^2} - 18ay}}{{18(a - y)}}}$ (1)

και με νόμο συνημιτόνου στο AEK,

$\displaystyle {x^2} = {(a - x)^2} + {(a - y)^2} - (a - x)(a - y) \Leftrightarrow$ $\boxed{x = \frac{{{a^2} + {y^2} - ay}}{{a + y}}}$ (2)

Από

$\displaystyle \frac{{13{a^2} - 18ay}}{{18(a - y)}} = \frac{{{a^2} + {y^2} - ay}}{{a + y}} \Leftrightarrow (3y - a)(6{y^2} - 16ay + 5{a^2}) = 0,0 < y < a,$

απ' όπου $\boxed{y=\frac{a}{3}}$ ή $\boxed{y = \frac{a}{6}\left( {8 - \sqrt {34} } \right)}$ Άρα υπάρχουν δύο θέσεις του σημείου

(πολύ κοντά η μία στην άλλη),

που σημαίνει ότι το πρόβλημα έχει δύο λύσεις. Το σημείο τομής της

με τη μεσοκάθετο της

είναι το

Παρατήρηση: Είναι εντυπωσιακό το γεγονός ότι οι δύο θέσεις του διαφέρουν μόλις κατά

Τέμνουσα ισοπλεύρου

Τέμνουσα ισοπλεύρου

Re: Τέμνουσα ισοπλεύρου

Μέλη σε σύνδεση