Τομή στη βάση

#1

: Επί της ευθείας της _βάσης_.png (42.09 KiB) Προβλήθηκε 791 φορές

Δίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με βάση επί της ευθείας και ας είναι τυχόντα σημεία εσωτερικά των γωνιών $\angle XBA,\angle YCD$ αντίστοιχα. Αν $S\equiv EC\cap AB,T\equiv DB\cap AC$ να δειχθεί ότι οι τέμνονται επί της , όπου $N\equiv DS\cap AC,L\equiv ET\cap AB$

Στάθης

min## · #2

Καθώς το

κινείται σε σταθερή ευθεία προκαλεί την προβολική σύνδεση $DE\rightarrow TL\rightarrow NL$ δηλαδή D(E),N(L)

προβολικές δέσμες.Με απλό έλεγχο ( όταν το

πέσει στο

) έχουν κοινή ακτίνα ,δηλαδή είναι προοπτικές,δηλαδή οι τομές των ομόλογων ακτίνων κείτονται σε ευθεία η οποία βγαίνει με απλό έλεγχο η

.

#3

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 04, 2019 2:47 pm
Επί της ευθείας της _βάσης_.pngΔίνεται τρίγωνο $\vartriangle ABC$ με βάση επί της ευθείας και ας είναι τυχόντα σημεία εσωτερικά των γωνιών $\angle XBA,\angle YCD$ αντίστοιχα. Αν $S\equiv EC\cap AB,T\equiv DB\cap AC$ να δειχθεί ότι οι τέμνονται επί της , όπου $N\equiv DS\cap AC,L\equiv ET\cap AB$

Στάθης

Αφού ευχαριστήσω τον Μίνο για τον "νέο τρόπο"

σκέψης της γεωμετρίας να πω ότι η πρόταση είναι αφορμή θέματος του Θάνου Καλογεράκη και η παρακάτω λύση στηρίζεται σε παρατήρηση Ρώσου Γεωμέτρη όσον αφορά το Θεώρημα του Πάππου

Από το Θεώρημα του Πάππου για τις συνευθειακές τριάδες $\left( E,S,C \right)$ και $\left( D,T,B \right)$ τα σημεία $Q\equiv ET\cap DS,W\equiv EB\cap CD,A\equiv SB\cap TC$ είναι συνευθειακά και συνεπώς τα τρίγωνα $\vartriangle ELB,\vartriangle DNC$ είναι προοπτικά σύμφωνα με το Θεώρημα του Desarques και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

#4

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:...Από το Θεώρημα του Πάππου για τις συνευθειακές τριάδες $\left( E,S,C \right)$ και $\left( D,T,B \right)$ τα σημεία $Q\equiv ET\cap DS,W\equiv EB\cap CD,A\equiv SB\cap TC$ είναι συνευθειακά και συνεπώς τα τρίγωνα $\vartriangle ELB,\vartriangle DNC$ είναι προοπτικά σύμφωνα με το Θεώρημα του Desarques και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Εμπνευσμένη εφαρμογή των θεωρημάτων Πάππου και Deasqrques και νομίζω ότι έχουμε ξαναδεί κάτι παρόμοιο στο

.

Ας δούμε όμως και μία προσέγγιση με Διπλούς λόγους.

$\bullet$ Έστω τα σημεία $F\equiv AE\cap BD$ και $Z\equiv AD\cap CE$ .

Η δέσμη A.EBCD

τέμνεται από την ευθεία

και έχουμε $(A.EBCD) = (E,S,C,Z)\ \ \ ,(1)$

Η ίδια δέσμη τέμνεται από την ευθεία

και έχουμε $(A.EBCD) = (F,B,T,D) = (D,T,B,F)\ \ \ ,(2)$

Από $(1),\ (2)\Rightarrow$ $(E,S,C,Z) = (D,T,B,F)\ \ \ ,(3)$

: Τομή στη βάση.; f 178_t 64402.PNG (27.51 KiB) Προβλήθηκε 661 φορές

$\bullet$ Αλλά, $(E,S,C,Z) = (D.ESCZ) = (M,N,C,A)\ \ \ ,(4)$ όπου $M\equiv AC\cap DE$ .

και $(D,T,B,F) = (E.DTBF) = (K,L,B,A)\ \ \ ,(5)$ όπου $K\equiv AB\cap DE$ .

Από $(3),\ (4),\ (5)\Rightarrow$ $(M,N,C,A) = (K,L,B,A)\ \ \ ,(6)$

Από (6)

συμπεραίνεται ότι οι ευθείες $KM\equiv DE$ και

και $BC\equiv XY$ , τέμνονται στο ίδιο σημείο έστω

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

Τομή στη βάση

Τομή στη βάση

Re: Τομή στη βάση

Re: Τομή στη βάση

Re: Τομή στη βάση

Μέλη σε σύνδεση