Ίσες γωνίες

Xriiiiistos · #1

Στο τρίγωνο ABC

ο εγγεγραμμένος του κύκλος εφάπτεται με τις BC,AC,AB

στα

και

η τομή των ευθειών ZE,BC

. Από

φέρνουμε κάθετη (ε) προς την

και το σημείο

είναι πάνω στην (ε) ώστε AT//BC

. Να εξετάσετε αν ισχύει $\widehat{AET}=\widehat{ESC}$

Ορέστης Λιγνός · #2

Xriiiiistos έγραψε: Δευ Μάιος 13, 2019 6:35 pm Στο τρίγωνο ο εγγεγραμμένος του κύκλος εφάπτεται με τις στα και η τομή των ευθειών . Από φέρνουμε κάθετη (ε) προς την και το σημείο είναι πάνω στην (ε) ώστε . Να εξετάσετε αν ισχύει $\widehat{AET}=\widehat{ESC}$

Έστω, $Q \equiv AI \cap BC$ .

Είναι, $\angle AQB=\angle QAC+\angle ACQ =\dfrac{\angle A}{2}+\angle C$ , οπότε $\angle AIT=\angle DIQ=90^\circ-\angle AQB=90^\circ-(\dfrac{\angle A}{2}+\angle C)=\dfrac{\angle B-\angle C}{2}$ .

Ακόμη, είναι $AT \parallel BC \Rightarrow \angle ATI=\angle AEI=\angle AZI=90^\circ$ , οπότε τα A,T,E,I

είναι ομοκυκλικά.

Άρα, $\angle AET=\angle AIT=\dfrac{\angle B-\angle C}{2}$ .

Επίσης, $\angle ESC=\angle ABC-\angle AZE=\angle B-(90^\circ-\dfrac{\angle A}{2})=\dfrac{\angle B-\angle C}{2}$ .

Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

: AAA.png (12.78 KiB) Προβλήθηκε 880 φορές

Ορέστης Λιγνός · #3

Πιο απλά.

Η

είναι προφανώς μεσοκάθετος της

, άρα με $X \equiv AI \cap ZE \Rightarrow \angle ZXI=90^\circ=\angle IDS$ , οπότε το SXID

είναι εγγράψιμο.

Επομένως, έχουμε ότι :

$\angle AET=\angle AIT=\angle XSD=\angle ESC$ .

#4

: Ίσες γωνίες.Χ..png (20.23 KiB) Προβλήθηκε 817 φορές

$\displaystyle A\widehat ZI = A\widehat TI = T\widehat EI = 90^\circ,$ άρα τα σημεία A, Z, I, E, T

είναι ομοκυκλικά, οπότε οι μπλε γωνίες είναι ίσες,

άρα και $\displaystyle A\widehat TE = S\widehat EC.$ Αλλά και οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες λόγω της παραλληλίας AT||BC,

που σημαίνει ότι

τα τρίγωνα AET, ESC

είναι ισογώνια και $\boxed{A\widehat ET= E\widehat SC}$

Ίσες γωνίες

Ίσες γωνίες

Re: Ίσες γωνίες

Re: Ίσες γωνίες

Re: Ίσες γωνίες

Μέλη σε σύνδεση