Ομοκυκλικά σημεία

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλό βράδυ.

: Πρωταθλητής..εγγεγραμμένος.PNG (10.98 KiB) Προβλήθηκε 422 φορές

Το τρίγωνο ABC

έχει

και $K \in BC$ .

Τα E,Z

είναι οι ορθές προβολές του

στις

και

η τομή των ZE,CB

ενώ

διχοτόμος του τριγώνου AEZ

.

Να εξεταστεί αν τα σημεία P,A,O,K

είναι ομοκυκλικά.

Ευχαριστώ , Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 14, 2019 9:39 pm
Καλό βράδυ.
Πρωταθλητής..εγγεγραμμένος.PNG
Το τρίγωνο έχει και $K \in BC$ .

Τα είναι οι ορθές προβολές του στις και η τομή των ενώ διχοτόμος του τριγώνου .

Να εξεταστεί αν τα σημεία είναι ομοκυκλικά.

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλησπέρα Γιώργο . Εχω την εντύπωση ( ειμαι βέβαιος βεβαίως βεβαίως ...) ότι η πρόταση ειναι ιδιαίτερα εύκολη και πρέπει να βρίσκεται σε πολυ μικρότερο φάκελο . Προτείνω να αφεθεί στους μαθητές και μονο !

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 14, 2019 9:39 pm
Καλό βράδυ.
Πρωταθλητής..εγγεγραμμένος.PNG
Το τρίγωνο έχει και $K \in BC$ .

Τα είναι οι ορθές προβολές του στις και η τομή των ενώ διχοτόμος του τριγώνου .

Να εξεταστεί αν τα σημεία είναι ομοκυκλικά.

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Χριστός Ανέστη!

Το EAZK

είναι εγγράψιμο και αν

η τόμή της

με τον περιγεγραμμένο του κύκλο θα είναι $\widehat{BLA}=90^{\circ}$

Έχουμε : $\widehat{POL}=\widehat{ZOA}=180-\left ( 90-\widehat{OZK} \right )-\dfrac{\widehat{A}}{2}=90+\widehat{EAK}-\dfrac{\widehat{A}}{2}=90+\dfrac{\widehat{A}}{2}-\widehat{KAL}-\dfrac{\widehat{A}}{2}=\widehat{LKA}\Leftrightarrow ...90-\widehat{POL}=\widehat{KAL}\Leftrightarrow \widehat{KPO}=\widehat{KAL}\Leftrightarrow AOKP\,\,\varepsilon \gamma \gamma \rho \acute{\alpha }\psi \iota \mu o$

#4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 14, 2019 9:39 pm
Καλό βράδυ.
Πρωταθλητής..εγγεγραμμένος.PNG
Το τρίγωνο έχει και $K \in BC$ .

Τα είναι οι ορθές προβολές του στις και η τομή των ενώ διχοτόμος του τριγώνου .

Να εξεταστεί αν τα σημεία είναι ομοκυκλικά.

Ευχαριστώ , Γιώργος.

...

#5

Έστω

το σημείο τομής της

με τη

. Θα είναι $AM \bot BC$ .

Τα σημεία $A,E,K\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,M$ ανήκουν σε κύκλο διαμέτρου

. Αλλά και τα σημεία $A,K,M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z$ ανήκουν στο ίδιο κύκλο .

Οι γωνίες $\widehat \omega \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\omega _1}}\,$ είναι ίσες και μάλιστα η κάθε μια ίση με το μισό της γωνίας της κορυφής του ισοσκελούς $\vartriangle ABC$ .

Η γωνία $\widehat \theta$ είναι εξωτερική στο $\vartriangle MZP$ και στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο AKMZ

: Ομοκυκλικά σημεία.png (31.35 KiB) Προβλήθηκε 371 φορές

Ταυτόχρονα λοιπόν θα ισχύουν:

$\left\{ \begin{gathered} \widehat \theta = \widehat \omega + \widehat P \hfill \\ \widehat \theta = \widehat {{\omega _1}} + \widehat \phi \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \widehat \theta = \widehat \omega + \widehat P \hfill \\ \widehat \theta = \widehat \omega + \widehat \phi \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{\widehat P = \widehat \phi }$

Δηλαδή το τετράπλευρο PAOK

είναι εγγράψιμο. ( Και κλάμα εμείς οι Αεκτζήδες!!)

Ομοκυκλικά σημεία

Ομοκυκλικά σημεία

Re: Ομοκυκλικά σημεία

Re: Ομοκυκλικά σημεία

Re: Ομοκυκλικά σημεία

Re: Ομοκυκλικά σημεία

Μέλη σε σύνδεση