Ομοκυκλικά σημεία

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1257
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Ομοκυκλικά σημεία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Μάιος 14, 2019 9:39 pm

Καλό βράδυ.
Πρωταθλητής..εγγεγραμμένος.PNG
Πρωταθλητής..εγγεγραμμένος.PNG (10.98 KiB) Προβλήθηκε 263 φορές
Το τρίγωνο ABC έχει AB=AC και K \in BC.

Τα E,Z είναι οι ορθές προβολές του K στις AB,AC και P η τομή των ZE,CB ενώ AO διχοτόμος του τριγώνου AEZ.

Να εξεταστεί αν τα σημεία P,A,O,K είναι ομοκυκλικά.

Ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4003
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ομοκυκλικά σημεία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Μάιος 14, 2019 10:22 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τρί Μάιος 14, 2019 9:39 pm
Καλό βράδυ.
Πρωταθλητής..εγγεγραμμένος.PNG
Το τρίγωνο ABC έχει AB=AC και K \in BC.

Τα E,Z είναι οι ορθές προβολές του K στις AB,AC και P η τομή των ZE,CB ενώ AO διχοτόμος του τριγώνου AEZ.

Να εξεταστεί αν τα σημεία P,A,O,K είναι ομοκυκλικά.

Ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλησπέρα Γιώργο . Εχω την εντύπωση ( ειμαι βέβαιος βεβαίως βεβαίως ...) ότι η πρόταση ειναι ιδιαίτερα εύκολη και πρέπει να βρίσκεται σε πολυ μικρότερο φάκελο . Προτείνω να αφεθεί στους μαθητές και μονο !


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 732
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ομοκυκλικά σημεία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τρί Μάιος 14, 2019 10:45 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τρί Μάιος 14, 2019 9:39 pm
Καλό βράδυ.
Πρωταθλητής..εγγεγραμμένος.PNG
Το τρίγωνο ABC έχει AB=AC και K \in BC.

Τα E,Z είναι οι ορθές προβολές του K στις AB,AC και P η τομή των ZE,CB ενώ AO διχοτόμος του τριγώνου AEZ.

Να εξεταστεί αν τα σημεία P,A,O,K είναι ομοκυκλικά.

Ευχαριστώ , Γιώργος.
Χριστός Ανέστη!

Το  EAZK είναι εγγράψιμο και αν L η τόμή της AO με τον περιγεγραμμένο του κύκλο θα είναι \widehat{BLA}=90^{\circ}

Έχουμε : \widehat{POL}=\widehat{ZOA}=180-\left ( 90-\widehat{OZK} \right )-\dfrac{\widehat{A}}{2}=90+\widehat{EAK}-\dfrac{\widehat{A}}{2}=90+\dfrac{\widehat{A}}{2}-\widehat{KAL}-\dfrac{\widehat{A}}{2}=\widehat{LKA}\Leftrightarrow ...90-\widehat{POL}=\widehat{KAL}\Leftrightarrow \widehat{KPO}=\widehat{KAL}\Leftrightarrow AOKP\,\,\varepsilon \gamma \gamma \rho \acute{\alpha }\psi \iota \mu o
Συνημμένα
Capture73.PNG
Capture73.PNG (35.55 KiB) Προβλήθηκε 238 φορές


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4003
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ομοκυκλικά σημεία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Μάιος 14, 2019 10:54 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τρί Μάιος 14, 2019 9:39 pm
Καλό βράδυ.
Πρωταθλητής..εγγεγραμμένος.PNG
Το τρίγωνο ABC έχει AB=AC και K \in BC.

Τα E,Z είναι οι ορθές προβολές του K στις AB,AC και P η τομή των ZE,CB ενώ AO διχοτόμος του τριγώνου AEZ.

Να εξεταστεί αν τα σημεία P,A,O,K είναι ομοκυκλικά.

Ευχαριστώ , Γιώργος.
<KPZ=<CKZ-<EZK=<BAO-<EAK=<KAO...


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7138
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ομοκυκλικά σημεία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Μάιος 14, 2019 11:49 pm

Έστω M το σημείο τομής της AO με τη BC. Θα είναι AM \bot BC.

Τα σημεία A,E,K\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,M ανήκουν σε κύκλο διαμέτρου AK. Αλλά και τα σημεία A,K,M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z ανήκουν στο ίδιο κύκλο .

Οι γωνίες \widehat \omega \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\omega _1}}\, είναι ίσες και μάλιστα η κάθε μια ίση με το μισό της γωνίας της κορυφής του ισοσκελούς \vartriangle ABC.

Η γωνία \widehat \theta είναι εξωτερική στο \vartriangle MZP και στο εγγεγραμμένο τετράπλευρο AKMZ
Ομοκυκλικά σημεία.png
Ομοκυκλικά σημεία.png (31.35 KiB) Προβλήθηκε 212 φορές
Ταυτόχρονα λοιπόν θα ισχύουν:

\left\{ \begin{gathered} 
  \widehat \theta  = \widehat \omega  + \widehat P \hfill \\ 
  \widehat \theta  = \widehat {{\omega _1}} + \widehat \phi  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \widehat \theta  = \widehat \omega  + \widehat P \hfill \\ 
  \widehat \theta  = \widehat \omega  + \widehat \phi  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{\widehat P = \widehat \phi }

Δηλαδή το τετράπλευρο PAOK είναι εγγράψιμο. ( Και κλάμα εμείς οι Αεκτζήδες!!)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης