Λόγος και κατασκευή

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1038
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Λόγος και κατασκευή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Μάιος 20, 2019 1:37 am

Καλή εβδομάδα σε όλους. Το θέμα ΑΥΤΟ αφετηρία για το παρόν:
Για την κατασκευή..χρυσοθήρας.PNG
Για την κατασκευή..χρυσοθήρας.PNG (8.17 KiB) Προβλήθηκε 315 φορές
Δίνεται τρίγωνο ABC. Θεωρούμε σημείο D \in AB και F στην ημιευθεία DB ώστε να ισχύει \dfrac{BD}{AB}=\dfrac{DF}{AC}=\lambda .

Φέρουμε από το F την κάθετη στην διχοτόμο της \widehat{A} που τέμνει την BC στο E.

Ι) Να βρεθεί ο λόγος \dfrac{BE}{EC} , ως συνάρτηση του \lambda .

Αν επιπλέον το \left ( BED \right ) είναι ο γεωμετρικός μέσος των \left ( DECA \right ) και \left ( BAC \right ) τότε

ΙΙ) Να εντοπιστεί , με κανόνα και διαβήτη , το σημείοD . Ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 351
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Λόγος και κατασκευή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Ιουν 01, 2019 11:33 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Δευ Μάιος 20, 2019 1:37 am
Καλή εβδομάδα σε όλους. Το θέμα ΑΥΤΟ αφετηρία για το παρόν:
Για την κατασκευή..χρυσοθήρας.PNG
Δίνεται τρίγωνο ABC. Θεωρούμε σημείο D \in AB και F στην ημιευθεία DB ώστε να ισχύει \dfrac{BD}{AB}=\dfrac{DF}{AC}=\lambda .

Φέρουμε από το F την κάθετη στην διχοτόμο της \widehat{A} που τέμνει την BC στο E.

Ι) Να βρεθεί ο λόγος \dfrac{BE}{EC} , ως συνάρτηση του \lambda .

Αν επιπλέον το \left ( BED \right ) είναι ο γεωμετρικός μέσος των \left ( DECA \right ) και \left ( BAC \right ) τότε

ΙΙ) Να εντοπιστεί , με κανόνα και διαβήτη , το σημείοD . Ευχαριστώ , Γιώργος.
Χριστός Ανέστη!

α)

Έστω \widehat{A}=2\vartheta
Φέρω παράλληλη από το D στην AC και L η τομή της με την BC

Είναι \dfrac{BD}{AB}=\dfrac{DL}{AC}=\dfrac{DF}{AC}\Rightarrow DF=DL

Από το ισοσκελές  DFL : \widehat{DFL}=\dfrac{180-2\vartheta }{2}=90-\vartheta =\widehat{DFL}=\widehat{DFE}\Rightarrow E\equiv L

Οπότε αφού DE\parallel AC

\dfrac{AC}{BE}=\dfrac{1}{\lambda }\Leftrightarrow 1+\dfrac{EC}{BE}=\dfrac{1}{\lambda }\Leftrightarrow \dfrac{BE}{EC}=\dfrac{\lambda }{1-\lambda }

β)
Φέρω τα ύψη όπως φαίνεται στο σχήμα και είναι :
\dfrac{u_1}{u_1+u_2}=\dfrac{DE}{AC}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\dfrac{u_1}{u_2}=\dfrac{DE}{AC-DE}

Οπότε
\left ( DBE \right )^2=\left ( ABC \right )\left ( DACE \right )\Leftrightarrow DE^2\cdot u_1^2=AC\left ( u_1+u_2 \right )\left ( DE+AC \right )u_2\Leftrightarrow DE^4+DE^2\cdot AC^2-AC^4=0\Leftrightarrow DE^2=\dfrac{AC^2}{\phi }\Leftrightarrow AB=BD\cdot \sqrt{\phi}
Συνημμένα
55.PNG
55.PNG (29.82 KiB) Προβλήθηκε 212 φορές


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1038
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Λόγος και κατασκευή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Ιουν 04, 2019 11:34 pm

Καλό βράδυ σε όλους. Σ' ευχαριστώ πολύ Πρόδρομε για την ωραία αντιμετώπιση του παρόντος!!
Ας δώσω μόνο την εικόνα για τον εντοπισμό του σημείου D.
Κατασκευή και λόγος ΙΙ.PNG
Κατασκευή και λόγος ΙΙ.PNG (17.11 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές
Φιλικά , Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες