Γωνία και λόγος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6795
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Γωνία και λόγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Μάιος 20, 2019 8:48 pm

Γωνία και λόγος_NIF_1.png
Γωνία και λόγος_NIF_1.png (12.87 KiB) Προβλήθηκε 255 φορές

Τριγώνου ABC με διάμεσο AM\,\, και ύψος BD , θεωρώ K την προβολή του B στην AM. Δίδεται : \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{2}{3} \hfill \\ 
  \frac{{BD}}{{BA}} = \frac{5}{6} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

α) Βρείτε τη γωνία \theta  = \widehat {MKC}

β) Αν το ημικύκλιο ακτίνας MA τέμνει τη BC στα E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z, βρείτε το λόγο : \dfrac{{AZ}}{{AE}}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8523
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γωνία και λόγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μάιος 21, 2019 9:59 am

Doloros έγραψε:
Δευ Μάιος 20, 2019 8:48 pm
Γωνία και λόγος_NIF_1.png


Τριγώνου ABC με διάμεσο AM\,\, και ύψος BD , θεωρώ K την προβολή του B στην AM. Δίδεται : \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{2}{3} \hfill \\ 
  \frac{{BD}}{{BA}} = \frac{5}{6} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

α) Βρείτε τη γωνία \theta  = \widehat {MKC}

β) Αν το ημικύκλιο ακτίνας MA τέμνει τη BC στα E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z, βρείτε το λόγο : \dfrac{{AZ}}{{AE}}
Σίγουρα θα υπάρχει ευκολότερος τρόπος.

Έστω L το συμμετρικό του K ως προς M και AB=6k, AC=9k, BD=5k, k>0.
Γωνία και λόγος.F.png
Γωνία και λόγος.F.png (21.9 KiB) Προβλήθηκε 219 φορές
α) Είναι \displaystyle \sin A = \frac{5}{6},\cos A = \frac{{\sqrt {11} }}{6} και με νόμο συνημιτόνων βρίσκω \displaystyle BC = 3k\sqrt {13 - 2\sqrt {11} }

\displaystyle  \bullet Από τον τύπο της διαμέσου \displaystyle A{M^2} = \frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4} \Leftrightarrow AM = \frac{{3k}}{2}\sqrt {13 + 2\sqrt {11} }

\displaystyle  \bullet \displaystyle (ABM) = \frac{1}{2}(ABC) \Leftrightarrow \frac{1}{2}AM \cdot BK = \frac{1}{2} \cdot 6k \cdot 9k \cdot \frac{5}{6} \Leftrightarrow BK = \frac{{45k}}{{3\sqrt {13 + 2\sqrt {11} } }}

\displaystyle  \bullet \displaystyle \sin \omega  = \frac{{BK}}{{BM}} = \frac{2}{{\sqrt 5 }},\cos \omega  = \frac{1}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow \tan \omega  = 2 \Rightarrow LC = BK = 2KM = KL \Leftrightarrow \boxed{\theta=45^\circ}

\displaystyle \frac{{AZ}}{{AE}} = \tan E \Leftrightarrow \frac{{AZ}}{{AE}} = \tan \left( {90^\circ  - \frac{\omega }{2}} \right) = \cot \frac{\omega }{2}

Αλλά, \displaystyle \cot \omega  = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{{{\cot }^2}\frac{\omega }{2} - 1}}{{2\cot \frac{\omega }{2}}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \cot \frac{\omega }{2} = \frac{{\sqrt 5  + 1}}{2} = \Phi  \Leftrightarrow \boxed{ \frac{{AZ}}{{AE}} = \Phi}


Altrian
Δημοσιεύσεις: 197
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Γωνία και λόγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Τρί Μάιος 21, 2019 2:54 pm

Καλησπέρα Γιώργο και Νίκο,

Για το α. Χωρίς βλάβη της γενικότητας έστω ότι BD=5. Επομένως AB=6, AC=9.

(ABC)=9*5/2=22,5
(ABC)=2(ABM)=2(ABK)+2(BKM)=(APBK)+(BKL)=xy+\dfrac{xu}{2}.
Επομένως έχουμε: 2xy+xu=45. \Rightarrow x(2y+u)=45.....[1]

x^{2}+y^{2}=36
x^{2}+(y+u)^{2}=81\Rightarrow x^{2}+y^{2}+u^{2}+2yu=81\Rightarrow u^{2}+2yu=45
\Rightarrow u(2y+u)=45. ..[2].

Από τις [1],[2]\Rightarrow x=u\Rightarrow \angle MKC=45
Συνημμένα
γωνια και λογος.png
γωνια και λογος.png (37.81 KiB) Προβλήθηκε 194 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1109
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Γωνία και λόγος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Μάιος 21, 2019 11:52 pm

Καλό βράδυ. Νίκο ,Γιώργο και Αλέξανδρε χαιρετώ!
Μια παραλλαγή για το β΄ερώτημα
Γωνία και λόγος.PNG
Γωνία και λόγος.PNG (12.34 KiB) Προβλήθηκε 166 φορές
Όπως βρήκε ο Γιώργος sin\omega =\dfrac{2}{\sqrt{5}}.Φέρω EH \perp AM .

Έστω EH=2x τότε AM=ME=x\sqrt{5} με Π.Θ MH=x άρα AH=\left ( \sqrt{5}-1 \right )x.

Συνεπώς \dfrac{AZ}{AE}=tan\theta =\dfrac{EH}{AH}=\dfrac{2}{\sqrt{5}-1}=\Phi ... \Phi ιλικά Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες