Σταθερό εμβαδόν

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10742
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Σταθερό εμβαδόν

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Μάιος 29, 2019 9:29 pm

Σταθερό  εμβαδόν.png
Σταθερό εμβαδόν.png (15.05 KiB) Προβλήθηκε 270 φορές
Οι κάθετες πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC έχουν άθροισμα 8 . Τα σημεία M,N,L

είναι τα μέσα των εξωτερικών ημικυκλίων με διαμέτρους τις τρεις πλευρές του τριγώνου .

Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου MNL .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6655
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Σταθερό εμβαδόν

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Μάιος 30, 2019 1:03 am

Σταθερό εμβαδόν.png
Σταθερό εμβαδόν.png (35.48 KiB) Προβλήθηκε 249 φορές

Έστω K το μέσο της υποτείνουσας BC = 2R . Θέτω : AN = u\,\,\,,\,\,AL = v έχουμε ότι : b + c = 8 ( εν γένει σταθερό ).

Είναι u + v = \dfrac{1}{2}b\sqrt 2  + \dfrac{1}{2}c\sqrt 2  = \dfrac{{b + c}}{2}\sqrt 2  = 4\sqrt 2 \, \Rightarrow \boxed{NL = 4\sqrt 2 \,\,}\,\,(1) .

Η AMδιχοτομεί την ορθή γωνία και από το πρώτο Θ. Πτολεμαίου στο ABMC έχω:

AM \cdot BC = AC \cdot MB + AB \cdot MC \Rightarrow 2R \cdot AM = (b + c)R\sqrt 2 , άρα :


\boxed{AM = 4\sqrt 2 }\,\,\,(2) . Από τις (1)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,(2) έχω: \boxed{(MNL) = 16}


Altrian
Δημοσιεύσεις: 176
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Σταθερό εμβαδόν

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Πέμ Μάιος 30, 2019 10:15 am

Φέρνουμε από τα B,C τις καθέτους προς την MA.

ΤαNASC,FALB είναι τετράγωνα με πλευρές u=b/\sqrt{2}, v=c/\sqrt{2} αντίστοιχα.
(NMA)=(CAM) και (MAL)=(MAB)

Αρα (NML)=(CABM)=(ABC)+(MBC)=\dfrac{1}{2}bc+\dfrac{1}{4}(b^{2}+c^{2})=(\dfrac{b+c}{2})^{2}=16
Συνημμένα
σταθερο εμβαδο.png
σταθερο εμβαδο.png (36.65 KiB) Προβλήθηκε 220 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8303
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σταθερό εμβαδόν

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μάιος 30, 2019 5:24 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Μάιος 29, 2019 9:29 pm
Σταθερό εμβαδόν.pngΟι κάθετες πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου \displaystyle ABC έχουν άθροισμα 8 . Τα σημεία M,N,L

είναι τα μέσα των εξωτερικών ημικυκλίων με διαμέτρους τις τρεις πλευρές του τριγώνου .

Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου MNL .
Αν P είναι το μέσο του BC=a, τότε \displaystyle PN = PL = \frac{{b + c}}{2} = 4.
Σταθερό εμβαδόν.Κ.png
Σταθερό εμβαδόν.Κ.png (16.4 KiB) Προβλήθηκε 180 φορές
\displaystyle (MNL) = (PNL) + (MPN) + (MPL) = 8 + \frac{1}{2} \cdot 4MP\left( {\sin (90^\circ  + \omega ) + \sin (90^\circ  + \theta )} \right)

\displaystyle  = 8 + a(\cos \omega  + \cos \theta ) = 8 + a\frac{{b + c}}{a} \Leftrightarrow \boxed{(MNL)=16}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες