Περίεργη γωνία

KARKAR · #1

: Περίεργη γωνία.png (8.29 KiB) Προβλήθηκε 932 φορές

Επιλέγουμε ( πώς ; ) σημείο

της πλευράς BC=a

, τριγώνου $\displaystyle ABC$ ,

ώστε : $\dfrac{SB}{SC}=\dfrac{c^2}{b^2}$ . Υπολογίστε συναρτήσει των a,b,c

, το $\cos \theta$ .

Θα σας ήμουν ευγνώμων αν αποφεύγατε θεωρήματα εκτός της ύλης του Λυκείου

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 20, 2019 9:09 am
Περίεργη γωνία.pngΕπιλέγουμε ( πώς ; ) σημείο της πλευράς , τριγώνου $\displaystyle ABC$ ,

ώστε : $\dfrac{SB}{SC}=\dfrac{c^2}{b^2}$ . Υπολογίστε συναρτήσει των , το $\cos \theta$ .

Θα σας ήμουν ευγνώμων αν αποφεύγατε θεωρήματα εκτός της ύλης του Λυκείου

Δεν θα την έθετα ως άσκηση για Ολυμπιάδες δεδομένου ότι δεν χρειάζεται σκέψη ενώ οι πράξεις είναι πολλές αλλά ρουτίνας. Χωρίς τις πράξεις:

Είναι $\displaystyle{BS = \frac {c^2a}{b^2+c^2}}$ άρα από τον Νόμο των Συνημιτόνων στο ABS

είναι $\displaystyle{AS^2= c^2+BS^2-2c\cdot BS \cos B = ... }$ (γνωστό ως προς a,b,c

).

Τώρα πάλι με Νόμο Συνημιτόνων $\displaystyle{\cos \theta = \frac {c^2+AS^2-BS^2}{2b\cdot AS} = ... }$

Υπάρχουν και άλλοι τρόποι.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 20, 2019 9:09 am
Περίεργη γωνία.pngΕπιλέγουμε ( πώς ; ) σημείο της πλευράς , τριγώνου $\displaystyle ABC$ ,

ώστε : $\dfrac{SB}{SC}=\dfrac{c^2}{b^2}$ . Υπολογίστε συναρτήσει των , το $\cos \theta$ .

Θα σας ήμουν ευγνώμων αν αποφεύγατε θεωρήματα εκτός της ύλης του Λυκείου

Έστω

σημείο της

ώστε $M\widehat AC=\theta.$

: Περίεργη γωνία.png (12.54 KiB) Προβλήθηκε 900 φορές

Τα τρίγωνα ABS, AMC

έχουν μία γωνία ίση και ίσα ύψη από την κορυφή

Άρα, $\displaystyle \frac{{(ABS)}}{{(AMC)}} = \frac{{c \cdot AS}}{{b \cdot AM}} = \frac{{BS}}{{MC}}$ (1)

Ομοίως για τα τρίγωνα ABM, ASC,

$\displaystyle \frac{{(ABM)}}{{(ASC)}} = \frac{{c \cdot AM}}{{b \cdot AS}} = \frac{{BM}}{{SC}}$ (2)

και με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των (1), (2)

$\displaystyle \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{BS}}{{SC}} \cdot \frac{{BM}}{{MC}},$ απ' όπου προκύπτει άμεσα ότι η

είναι διάμεσος του τριγώνου.

Τέλος με νόμο συνημιτόνων στο AMC

και από τον τύπο της διαμέσου, παίρνω $\boxed{ \cos \theta = \frac{{3{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2b\sqrt {2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}} }}}$

ΥΓ. Η διχοτόμος έμεινε κατά λάθος στο σχήμα.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 20, 2019 9:09 am
Επιλέγουμε ( πώς ; ) σημείο της πλευράς , τριγώνου $\displaystyle ABC$ ,

ώστε : $\dfrac{SB}{SC}=\dfrac{c^2}{b^2}$ . Υπολογίστε συναρτήσει των , το $\cos \theta$ .

Ας προσθέσω το αυτονόητο σχόλιο ότι το πηλίκο $\dfrac{SB}{SC}$ θα μπορούσε να είναι οποιοσδήποτε αριθμός $\lambda$ στην θέση του $\dfrac{c^2}{b^2}$ . Η τεχνική που έγραψα μεταφέρεται ουσιαστικά αυτούσια.

Περίεργη γωνία

Περίεργη γωνία

Re: Περίεργη γωνία

Re: Περίεργη γωνία

Re: Περίεργη γωνία

Μέλη σε σύνδεση