Περίεργη γωνία

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10963
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Περίεργη γωνία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Ιουν 20, 2019 9:09 am

Περίεργη  γωνία.png
Περίεργη γωνία.png (8.29 KiB) Προβλήθηκε 275 φορές
Επιλέγουμε ( πώς ; ) σημείο S της πλευράς BC=a , τριγώνου \displaystyle ABC ,

ώστε : \dfrac{SB}{SC}=\dfrac{c^2}{b^2} . Υπολογίστε συναρτήσει των a,b,c , το \cos \theta .

Θα σας ήμουν ευγνώμων αν αποφεύγατε θεωρήματα εκτός της ύλης του Λυκείου ;)



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11566
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Περίεργη γωνία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιουν 20, 2019 10:41 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιουν 20, 2019 9:09 am
Περίεργη γωνία.pngΕπιλέγουμε ( πώς ; ) σημείο S της πλευράς BC=a , τριγώνου \displaystyle ABC ,

ώστε : \dfrac{SB}{SC}=\dfrac{c^2}{b^2} . Υπολογίστε συναρτήσει των a,b,c , το \cos \theta .

Θα σας ήμουν ευγνώμων αν αποφεύγατε θεωρήματα εκτός της ύλης του Λυκείου ;)
Δεν θα την έθετα ως άσκηση για Ολυμπιάδες δεδομένου ότι δεν χρειάζεται σκέψη ενώ οι πράξεις είναι πολλές αλλά ρουτίνας. Χωρίς τις πράξεις:

Είναι \displaystyle{BS = \frac {c^2a}{b^2+c^2}} άρα από τον Νόμο των Συνημιτόνων στο ABS είναι \displaystyle{AS^2= c^2+BS^2-2c\cdot BS \cos B = ... } (γνωστό ως προς a,b,c).

Τώρα πάλι με Νόμο Συνημιτόνων \displaystyle{\cos \theta = \frac {c^2+AS^2-BS^2}{2b\cdot AS} = ... }

Υπάρχουν και άλλοι τρόποι.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8525
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Περίεργη γωνία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιουν 20, 2019 10:47 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιουν 20, 2019 9:09 am
Περίεργη γωνία.pngΕπιλέγουμε ( πώς ; ) σημείο S της πλευράς BC=a , τριγώνου \displaystyle ABC ,

ώστε : \dfrac{SB}{SC}=\dfrac{c^2}{b^2} . Υπολογίστε συναρτήσει των a,b,c , το \cos \theta .

Θα σας ήμουν ευγνώμων αν αποφεύγατε θεωρήματα εκτός της ύλης του Λυκείου ;)
Έστω M σημείο της BC ώστε M\widehat AC=\theta.
Περίεργη γωνία.png
Περίεργη γωνία.png (12.54 KiB) Προβλήθηκε 243 φορές
Τα τρίγωνα ABS, AMC έχουν μία γωνία ίση και ίσα ύψη από την κορυφή A. Άρα, \displaystyle \frac{{(ABS)}}{{(AMC)}} = \frac{{c \cdot AS}}{{b \cdot AM}} = \frac{{BS}}{{MC}} (1)

Ομοίως για τα τρίγωνα ABM, ASC, \displaystyle \frac{{(ABM)}}{{(ASC)}} = \frac{{c \cdot AM}}{{b \cdot AS}} = \frac{{BM}}{{SC}} (2) και με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των (1), (2)

\displaystyle \frac{{{c^2}}}{{{b^2}}} = \frac{{BS}}{{SC}} \cdot \frac{{BM}}{{MC}}, απ' όπου προκύπτει άμεσα ότι η AM είναι διάμεσος του τριγώνου.

Τέλος με νόμο συνημιτόνων στο AMC και από τον τύπο της διαμέσου, παίρνω \boxed{ \cos \theta  = \frac{{3{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2b\sqrt {2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}} }}}


ΥΓ. Η διχοτόμος AD έμεινε κατά λάθος στο σχήμα.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11566
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Περίεργη γωνία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιουν 20, 2019 12:15 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Ιουν 20, 2019 9:09 am
Επιλέγουμε ( πώς ; ) σημείο S της πλευράς BC=a , τριγώνου \displaystyle ABC ,

ώστε : \dfrac{SB}{SC}=\dfrac{c^2}{b^2} . Υπολογίστε συναρτήσει των a,b,c , το \cos \theta .
Ας προσθέσω το αυτονόητο σχόλιο ότι το πηλίκο \dfrac{SB}{SC} θα μπορούσε να είναι οποιοσδήποτε αριθμός \lambda στην θέση του \dfrac{c^2}{b^2}. Η τεχνική που έγραψα μεταφέρεται ουσιαστικά αυτούσια.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης