Παραλληλία με μέσον

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8205
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Παραλληλία με μέσον

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιουν 22, 2019 10:35 am

Παραλληλία με μέσον.png
Παραλληλία με μέσον.png (24.9 KiB) Προβλήθηκε 548 φορές
Σε τετράπλευρο ABCD που δεν είναι τραπέζιο, οι πλευρές AB, CD είναι ίσες και οι προεκτάσεις τους τέμνονται στο S.

Αν M, N είναι τα μέσα των AD,BC, α) να δείξετε ότι η διχοτόμος της B\widehat SC είναι παράλληλη της MN.

β) Εξωτερικά του τετραπλεύρου κατασκευάζουμε τα ίσα τρίγωνα ABE, CDF με AE=DF, BE=CF. Να δείξετε ότι

η MN διέρχεται από το μέσον του EF.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3952
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Παραλληλία με μέσον

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Σάβ Ιουν 22, 2019 1:27 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Ιουν 22, 2019 10:35 am
Παραλληλία με μέσον.png
Σε τετράπλευρο ABCD που δεν είναι τραπέζιο, οι πλευρές AB, CD είναι ίσες και οι προεκτάσεις τους τέμνονται στο S.

Αν M, N είναι τα μέσα των AD,BC, α) να δείξετε ότι η διχοτόμος της B\widehat SC είναι παράλληλη της MN.

β) Εξωτερικά του τετραπλεύρου κατασκευάζουμε τα ίσα τρίγωνα ABE, CDF με AE=DF, BE=CF. Να δείξετε ότι

η MN διέρχεται από το μέσον του EF.
Φέρτε το συμμετρικό του A ως προς το N και θα τα "δείτε" όλα !


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 951
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Παραλληλία με μέσον

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Ιουν 22, 2019 4:37 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Ιουν 22, 2019 10:35 am
Παραλληλία με μέσον.png
Σε τετράπλευρο ABCD που δεν είναι τραπέζιο, οι πλευρές AB, CD είναι ίσες και οι προεκτάσεις τους τέμνονται στο S.

Αν M, N είναι τα μέσα των AD,BC, α) να δείξετε ότι η διχοτόμος της B\widehat SC είναι παράλληλη της MN.

β) Εξωτερικά του τετραπλεύρου κατασκευάζουμε τα ίσα τρίγωνα ABE, CDF με AE=DF, BE=CF. Να δείξετε ότι

η MN διέρχεται από το μέσον του EF.
α) Θα χρησιμοποιήσουμε ως λήμμα την άσκηση εδώ. Έστω K και L τα μέσα των τόξων BSC και CB αντίστοιχα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου BSC. Σύμφωνα με το παραπάνω λήμμα τα σημεία S,D,A,K είναι ομοκυκλικά και ισχύει \angle DSA =\angle DKA =\angle CKB. Επομένως τα ισοσκελή τρίγωνα DKA και CKB είναι όμοια. Άρα θα είναι όμοια και τα ορθογώνια τρίγωνα MKA και NKB και ισχύει \angle MKA = \angle NKB.

Είναι \angle MKN = \angle MKA-\angle NKA= \angle NKB-\angle NKA= \angle BKA. Από την ομοιότητα των MKA και NKB έχουμε \dfrac{KM}{KN} =\dfrac{KN}{KB} και εφόσον \angle MKN =\angle BKA, τα τρίγωνα  KMN και KAB είναι όμοια. Οπότε \angle MNK = \angle ABK = \angle SLK. Δηλαδή MN|| SL όπως θέλαμε.
parallhlia_me_meson.png
parallhlia_me_meson.png (42.68 KiB) Προβλήθηκε 451 φορές

β) Ας είναι Q το σημείο τομής των ευθειών FC και EB και F^{\prime} και E^{\prime} τα σημεία τομής των παραλλήλων από το σημείο S, προς τις FD και AE αντίστοιχα. Έστω QT η διχοτόμος της γωνίας BQC, όπου T το σημείο της ευθείας SE^{\prime}.

Εφαρμόζοντας το ερώτημα (α) στο τετράπλευρο BEFC και το σημείο Q, έχουμε ότι η QT είναι παράλληλη προς την  NP^{\prime}. Όπου P^{\prime} το μέσο του τμήματος EF.

Έχούμε επίσης \angle E^{\prime}TQ=180^{0}-\angle SE^{\prime}Q-\angle E^{\prime}QT (1) και

\angle CSB +2\angle SE^{\prime}Q +2\angle BST + \angle E^{\prime}QF^{\prime} =360^0 \Rightarrow

\dfrac{\angle CSB}{2} +\angle SE^{\prime}Q  +  \angle BST+ \dfrac{\angle E^{\prime}QF^{\prime}}{2} =180^{0} \Rightarrow

\dfrac{\angle CSB}{2} + \angle BST = 180^{0} -\angle SE^{\prime}Q -\angle E^{\prime}QT (2)

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι QT||SL. Και εφόσον από σημείο εκτός ευθείας άγεται μοναδική παράλληλη προς την ευθεία το μέσο P^{\prime} του τμήματος EF θα ανήκει στην MN.


Altrian
Δημοσιεύσεις: 169
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Παραλληλία με μέσον

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Σάβ Ιουν 22, 2019 8:13 pm

Καλησπέρα σε όλους.

α) Φέρνουμε AK=\left | \right |DC\RightarrowADCK παρ/μο και \bigtriangleup ALK ισοσκελές. Φέρνουμε AH\left | \right | προς την διχοτόμο της S..
Επειδή H μέσο της LK\Rightarrow NH=\left | \right |\dfrac{CK}{2}=\left | \right |AM\Rightarrow AH=\left | \right |MN. Δηλ. η διχοτόμος της S \left | \right |MN.

β). Μπορούμε να εφαρμόσουμε το α) στο τετράπλευρο AEDF (συγκεκριμένα το αντίστροφο πρόβλημα που προκύπτει εύκολα).
Συνημμένα
παραλληλια με μεσον.png
παραλληλια με μεσον.png (30.71 KiB) Προβλήθηκε 422 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 79
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Παραλληλία με μέσον

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Σάβ Ιουν 22, 2019 8:35 pm

Γειά σας !
Μία ακόμη για το α)
Απο τα A και D φέρω κάθετες στην διχοτόμο της \widehat{S} που την τέμνουν στα Q και L αντίστοιχα , και την SB στα T και K αντίστοιχα. Είναι KB=DC=TK\Rightarrow TA=KB.
Φέρω τα τμήματα MQ και NL. Επειδή τα Q,M είναι μέσα των DT,DA και L,N είναι μέσα των CK,CB αντίστοιχα, ένω TA=KB, θα είναι QM\parallel =\dfrac{TA}{2}=\dfrac{KB}{2}\parallel =LN, δηλαδή το τετράπλευρο MNLQ είναι παραλληλόγραμμο, άρα MN\parallel QL
Συνημμένα
Παραλληλία με μέσον.PNG
Παραλληλία με μέσον.PNG (31.09 KiB) Προβλήθηκε 415 φορές


Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2030
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Re: Παραλληλία με μέσον

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Σάβ Ιουν 22, 2019 11:57 pm

Για το (β) ζητούμενο.

Κατασκευάζουμε το τρίγωνο \vartriangle DST με DS\parallel = AE και DT\parallel = AB και έστω K,\ L,\ M,\ N,\ P, τα μέσα των FS,\ CT,\ AD,\ BC,\ FE, αντιστοίχως.
f 178_t 64716.PNG
Παραλληλία με μέσον - Απόδειξη του (β) ζητούμενου.
f 178_t 64716.PNG (29.68 KiB) Προβλήθηκε 342 φορές
Από το σχήμα τώρα, σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, προκύπτει άμεσα ότι τα σημεία M,\ P,\ N είναι συνευθειακά, λόγω DM\parallel = KP\parallel = LN και το (β) ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3952
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Παραλληλία με μέσον

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Ιουν 26, 2019 11:34 am

george visvikis έγραψε:
Σάβ Ιουν 22, 2019 10:35 am
Παραλληλία με μέσον.png
Σε τετράπλευρο ABCD που δεν είναι τραπέζιο, οι πλευρές AB, CD είναι ίσες και οι προεκτάσεις τους τέμνονται στο S.

Αν M, N είναι τα μέσα των AD,BC, α) να δείξετε ότι η διχοτόμος της B\widehat SC είναι παράλληλη της MN.

β) Εξωτερικά του τετραπλεύρου κατασκευάζουμε τα ίσα τρίγωνα ABE, CDF με AE=DF, BE=CF. Να δείξετε ότι

η MN διέρχεται από το μέσον του EF.
Παραλληλία με μέσον.png
Παραλληλία με μέσον.png (44.88 KiB) Προβλήθηκε 300 φορές
Ας δούμε και μια αντιμετώπιση με τη Θεωρία των μέσων (Μανώλης Γεωργακάκης)

Έστω K,L τα συμμετρικά των A,E ως προς το μέσο N της BC . Τότε

α) Προφανώς λόγω του σχηματιζόμενου παραλληλογράμμου AEKL (οι διαγώνιες διχοτομούνται) θα είναι

BS \equiv AB\parallel KC \Rightarrow \angle TSD\mathop  = \limits^{\delta \iota \chi o\tau o\mu o\varsigma } \dfrac{{\angle CSA}}{2}\mathop  = \limits^{SB\parallel KC} \dfrac{{\angle XCK}}{2}\mathop  = \limits^{CD = CK = AB} \angle CDK \Rightarrow ST\parallel DK\mathop \parallel \limits^{M,N\,\,\mu \varepsilon \sigma \alpha \,\,\tau \omega \nu \,\,AD,AK} MN

β) Από τα σχηματιζόμενο παραλληλόγραμμοEBLC και την ισότητα των τριγώνων \vartriangle ABE,\vartriangle DCF θα είναι: CL = EB = CF,AE = KL = DF,AB = CD,CK προκύπτει ότι \angle FKD=\angle LKD,\angle DFL=\angle KLF (άθροισμα γωνιών) οπότε

FL\parallel DK\left( {\angle KDF + \angle DFL = {{180}^0}} \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{MN\parallel DK} MN\parallel FL \Rightarrow NP\parallel FL\mathop  \Rightarrow \limits^{N\,\,\mu \varepsilon \sigma o\,\,\tau \eta \varsigma \,\,EL} P μέσο της EF και όλα τα ζητούμενα έχουν αποδειχθεί.

Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες