Παραλληλία με μέσον
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Παραλληλία με μέσον
Αν είναι τα μέσα των α) να δείξετε ότι η διχοτόμος της είναι παράλληλη της
β) Εξωτερικά του τετραπλεύρου κατασκευάζουμε τα ίσα τρίγωνα με Να δείξετε ότι
η διέρχεται από το μέσον του
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Παραλληλία με μέσον
Φέρτε το συμμετρικό του ως προς το και θα τα "δείτε" όλα !george visvikis έγραψε: ↑Σάβ Ιουν 22, 2019 10:35 amΠαραλληλία με μέσον.png
Σε τετράπλευρο που δεν είναι τραπέζιο, οι πλευρές είναι ίσες και οι προεκτάσεις τους τέμνονται στο
Αν είναι τα μέσα των α) να δείξετε ότι η διχοτόμος της είναι παράλληλη της
β) Εξωτερικά του τετραπλεύρου κατασκευάζουμε τα ίσα τρίγωνα με Να δείξετε ότι
η διέρχεται από το μέσον του
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Παραλληλία με μέσον
α) Θα χρησιμοποιήσουμε ως λήμμα την άσκηση εδώ. Έστω και τα μέσα των τόξων και αντίστοιχα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου . Σύμφωνα με το παραπάνω λήμμα τα σημεία είναι ομοκυκλικά και ισχύει . Επομένως τα ισοσκελή τρίγωνα και είναι όμοια. Άρα θα είναι όμοια και τα ορθογώνια τρίγωνα και και ισχύει .george visvikis έγραψε: ↑Σάβ Ιουν 22, 2019 10:35 amΠαραλληλία με μέσον.png
Σε τετράπλευρο που δεν είναι τραπέζιο, οι πλευρές είναι ίσες και οι προεκτάσεις τους τέμνονται στο
Αν είναι τα μέσα των α) να δείξετε ότι η διχοτόμος της είναι παράλληλη της
β) Εξωτερικά του τετραπλεύρου κατασκευάζουμε τα ίσα τρίγωνα με Να δείξετε ότι
η διέρχεται από το μέσον του
Είναι . Από την ομοιότητα των και έχουμε και εφόσον , τα τρίγωνα και είναι όμοια. Οπότε . Δηλαδή όπως θέλαμε.
β) Ας είναι το σημείο τομής των ευθειών και και και τα σημεία τομής των παραλλήλων από το σημείο , προς τις και αντίστοιχα. Έστω η διχοτόμος της γωνίας , όπου το σημείο της ευθείας .
Εφαρμόζοντας το ερώτημα (α) στο τετράπλευρο και το σημείο , έχουμε ότι η είναι παράλληλη προς την . Όπου το μέσο του τμήματος .
Έχούμε επίσης (1) και
(2)
Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι . Και εφόσον από σημείο εκτός ευθείας άγεται μοναδική παράλληλη προς την ευθεία το μέσο του τμήματος θα ανήκει στην .
Re: Παραλληλία με μέσον
Καλησπέρα σε όλους.
α) Φέρνουμε παρ/μο και ισοσκελές. Φέρνουμε προς την διχοτόμο της .
Επειδή μέσο της . Δηλ. η διχοτόμος της .
β). Μπορούμε να εφαρμόσουμε το α) στο τετράπλευρο (συγκεκριμένα το αντίστροφο πρόβλημα που προκύπτει εύκολα).
α) Φέρνουμε παρ/μο και ισοσκελές. Φέρνουμε προς την διχοτόμο της .
Επειδή μέσο της . Δηλ. η διχοτόμος της .
β). Μπορούμε να εφαρμόσουμε το α) στο τετράπλευρο (συγκεκριμένα το αντίστροφο πρόβλημα που προκύπτει εύκολα).
- Συνημμένα
-
- παραλληλια με μεσον.png (30.71 KiB) Προβλήθηκε 1123 φορές
Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
- ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
- Δημοσιεύσεις: 141
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm
Re: Παραλληλία με μέσον
Γειά σας !
Μία ακόμη για το α)
Απο τα και φέρω κάθετες στην διχοτόμο της που την τέμνουν στα και αντίστοιχα , και την στα και αντίστοιχα. Είναι .
Φέρω τα τμήματα και . Επειδή τα είναι μέσα των και είναι μέσα των αντίστοιχα, ένω , θα είναι , δηλαδή το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, άρα
Μία ακόμη για το α)
Απο τα και φέρω κάθετες στην διχοτόμο της που την τέμνουν στα και αντίστοιχα , και την στα και αντίστοιχα. Είναι .
Φέρω τα τμήματα και . Επειδή τα είναι μέσα των και είναι μέσα των αντίστοιχα, ένω , θα είναι , δηλαδή το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, άρα
- Συνημμένα
-
- Παραλληλία με μέσον.PNG (31.09 KiB) Προβλήθηκε 1116 φορές
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Παραλληλία με μέσον
Για το (β) ζητούμενο.
Κατασκευάζουμε το τρίγωνο με και και έστω , τα μέσα των , αντιστοίχως.
Από το σχήμα τώρα, σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, προκύπτει άμεσα ότι τα σημεία είναι συνευθειακά, λόγω και το (β) ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Κατασκευάζουμε το τρίγωνο με και και έστω , τα μέσα των , αντιστοίχως.
Από το σχήμα τώρα, σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, προκύπτει άμεσα ότι τα σημεία είναι συνευθειακά, λόγω και το (β) ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Παραλληλία με μέσον
Ας δούμε και μια αντιμετώπιση με τη Θεωρία των μέσων (Μανώλης Γεωργακάκης)george visvikis έγραψε: ↑Σάβ Ιουν 22, 2019 10:35 amΠαραλληλία με μέσον.png
Σε τετράπλευρο που δεν είναι τραπέζιο, οι πλευρές είναι ίσες και οι προεκτάσεις τους τέμνονται στο
Αν είναι τα μέσα των α) να δείξετε ότι η διχοτόμος της είναι παράλληλη της
β) Εξωτερικά του τετραπλεύρου κατασκευάζουμε τα ίσα τρίγωνα με Να δείξετε ότι
η διέρχεται από το μέσον του
Έστω τα συμμετρικά των ως προς το μέσο της . Τότε
α) Προφανώς λόγω του σχηματιζόμενου παραλληλογράμμου (οι διαγώνιες διχοτομούνται) θα είναι
β) Από τα σχηματιζόμενο παραλληλόγραμμο και την ισότητα των τριγώνων θα είναι: προκύπτει ότι (άθροισμα γωνιών) οπότε
μέσο της και όλα τα ζητούμενα έχουν αποδειχθεί.
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες