Μέγιστο εμβαδόν 12

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10742
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστο εμβαδόν 12

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Ιουν 26, 2019 10:28 am

Μέγιστο εμβαδόν  12.png
Μέγιστο εμβαδόν 12.png (17.7 KiB) Προβλήθηκε 405 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , είναι AB=2AC (=2b) και M το μέσο της υποτείνουσας BC .

Στην προέκταση της BA , θεωρούμε σημείο S και φέρουμε την SM , η οποία τέμνει την AC

στο σημείο P . Η κάθετη CT από το C προς την SM , προεκτεινόμενη τέμνει την AB στο σημείο Q .

Βρείτε την θέση του S για την οποία μεγιστοποιείται το (PAQT) και υπολογίστε το (PAQT)_{max} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 366
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Μέγιστο εμβαδόν 12

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Ιουν 26, 2019 5:20 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Ιουν 26, 2019 10:28 am
Μέγιστο εμβαδόν 12.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , είναι AB=2AC (=2b) και M το μέσο της υποτείνουσας BC .

Στην προέκταση της BA , θεωρούμε σημείο S και φέρουμε την SM , η οποία τέμνει την AC

στο σημείο P . Η κάθετη CT από το C προς την SM , προεκτεινόμενη τέμνει την AB στο σημείο Q .

Βρείτε την θέση του S για την οποία μεγιστοποιείται το (PAQT) και υπολογίστε το (PAQT)_{max} .

Καλησπέρα!

Έστω SA=x
Θεώρημα Μενελάου στο ABC με διατέμνουσα \overline{STM} : \dfrac{x}{x+2b}\cdot \dfrac{MB}{MC} \cdot \dfrac{PC}{PA}=1

\Leftrightarrow \dfrac{x+2b}{x}=\dfrac{b-AP}{AP}\Leftrightarrow AP=\dfrac{bx}{2\left ( b+x \right )},PC=b-AP=\dfrac{b\left ( 2b+x \right )}{2\left (b+x \right )}

\overset{\Delta }{SPA}\sim \overset{\Delta }{ACQ}\Rightarrow \dfrac{x}{PA}=\dfrac{b}{AQ}\Leftrightarrow AQ=\dfrac{b^2}{2\left ( b+x \right )}

\overset{\Delta }{CPT}\sim \overset{\Delta }{ACQ}\Rightarrow \dfrac{b}{AQ}=\dfrac{CT}{PT}\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow PT=\dfrac{b\cdot CT}{2\left ( b+x \right )}\,\,\,{*}

Πυθαγόρειο στο CPT: PC^2=CT^2+\dfrac{b^2CT^2}{4\left ( b+x \right )^2}\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow CT=\dfrac{b\left ( 2b+x \right )}{\sqrt{4\left ( b+x \right )^2+b^2}}

Αντικαθιστούμε το CT στην (*) και έχουμε :

\left ( ACT \right )=\dfrac{1}{2}PT\cdot CT=..=\dfrac{b^3\left ( 2b+x \right )^2}{4\left ( b+x \right )\left ( 4\left ( b+x \right )^2+b^2 \right )}

\left ( ACQ \right )=\dfrac{1}{2}AQAC=\dfrac{b^3}{4\left ( b+x \right )}

\left ( PTQA \right )=\left ( ACQ \right )-\left ( CPT \right )=...=\dfrac{b^3}{4}\cdot \dfrac{b+3x}{5b^2+8bx+4x^2}

Είναι \dfrac{b+3x}{5b^2+8bx+4x^2}\leq \dfrac{1}{4b}\Leftrightarrow b^2-4bx+4x^2\geq 0 που ισχύει ,με την ισότητα για x=\dfrac{b}{2}.

\left ( PTAQ \right )_{\max}=\dfrac{b^3}{16b}=\dfrac{b^2}{16}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6655
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστο εμβαδόν 12

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιουν 28, 2019 12:12 pm

Έστω N το μέσο του AC\,. Σχηματίζω το τετράγωνο CAKL. Προφανώς :

\left\{ \begin{gathered} 
  \vartriangle AQC = \vartriangle NPM \hfill \\ 
  \vartriangle AQC \approx \vartriangle TPC \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Θέτω AQ = x\,\,\,\,(\kappa \alpha \iota \,\,\,PN = x\,)\,,\,\,CT = y\,\,,\,\,PT = u με b,x,y,u > 0. Θα ισχύουν :

μέχιστο εμβαδόν 12.png
μέχιστο εμβαδόν 12.png (16.5 KiB) Προβλήθηκε 315 φορές

\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{CT}}{{CA}} = \frac{{CP}}{{CQ}} \hfill \\ 
  \frac{{PT}}{{AQ}} = \frac{{CP}}{{CQ}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  y\sqrt {{x^2} + {b^2}}  = b\left( {x + \frac{b}{2}} \right)\,\,(1) \hfill \\ 
  u\sqrt {{x^2} + {b^2}}  = x\left( {x + \frac{b}{2}} \right)\,\,\,(2) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Επειδή E = (AQTP) = (AQC) - (TPC) και λόγω των (1)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2) θα έχω:

E = f(x) = \dfrac{1}{2}bx - \dfrac{1}{2}uy = \dfrac{1}{2}bx - \dfrac{1}{2}bx\dfrac{{{{\left( {x + \dfrac{b}{2}} \right)}^2}}}{{{x^2} + {b^2}}} ή \boxed{E = f(x) = \frac{{{b^2}x(3b - 4x)}}{{8({x^2} + {b^2})}}}\,\,\,(3)

Επειδή : \dfrac{{{b^2}x(3b - 4x)}}{{8({x^2} + {b^2})}} \leqslant \dfrac{{{b^2}}}{{16}}\,\, \Leftrightarrow {(3x - b)^2} \geqslant 0, το εμβαδόν θα παίρνει μέγιστη τιμή :

\boxed{{E_{\max }} = \frac{{{b^2}}}{{16}}} όταν \boxed{AQ = {x_0} = \frac{b}{3}} .


Altrian
Δημοσιεύσεις: 176
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Μέγιστο εμβαδόν 12

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Παρ Ιουν 28, 2019 9:42 pm

Καλησπέρα,

Βασίζομαι στην πολύ όμορφη λύση του Νίκου για να διατυπώσω μια ακόμα.

(PAQT)=(CAQ)-(CPT)=(NPM)-(CPT)=

(FTM)-(CNF)=(CTM)-(CNM)=(CTM)-\dfrac{b^{2}}{4}

Αρα E_{max}=(CTM)_{max}-\dfrac{b^{2}}{4}. Το (CTM) είναι ορθογώνιο τρίγωνο με σταθερή υποτείνουσα
οπότε μεγιστοποιείται όταν είναι ισοσκελές. Αρα η θέση μεγίστου προκύπτει όταν από το μέσο M φέρουμε ευθεία υπό γωνία 45 ως προς την CB.

Οι υπολογισμοί μετά είναι απλοί και το αποτέλεσμα έχει ήδη δοθεί.
Συνημμένα
max12.png
max12.png (12.93 KiB) Προβλήθηκε 272 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6655
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστο εμβαδόν 12

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιουν 29, 2019 12:23 am

Altrian έγραψε:
Παρ Ιουν 28, 2019 9:42 pm
Καλησπέρα,

Βασίζομαι στην πολύ όμορφη λύση του Νίκου για να διατυπώσω μια ακόμα.

(PAQT)=(CAQ)-(CPT)=(NPM)-(CPT)= 
 
(FTM)-(CNF)=(CTM)-(CNM)=(CTM)-\dfrac{b^{2}}{4}

Αρα E_{max}=(CTM)_{max}-\dfrac{b^{2}}{4}. Το (CTM) είναι ορθογώνιο τρίγωνο με σταθερή υποτείνουσα
οπότε μεγιστοποιείται όταν είναι ισοσκελές. Αρα η θέση μεγίστου προκύπτει όταν από το μέσο M φέρουμε ευθεία υπό γωνία 45 ως προς την CB.

Οι υπολογισμοί μετά είναι απλοί και το αποτέλεσμα έχει ήδη δοθεί.
Ωραίες σκέψεις . :coolspeak:


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες