Παντού υπάρχει ένας κύκλος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11712
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Παντού υπάρχει ένας κύκλος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Ιουν 26, 2019 8:26 pm

Παντού  υπάρχει ένας  κύκλος.png
Παντού υπάρχει ένας κύκλος.png (14.74 KiB) Προβλήθηκε 380 φορές
Στο παραλληλόγραμμο ABCD , η πλευρά AB είναι διπλάσια της AD

α) Υπάρχει περίπτωση να είναι και η διαγώνιος AC διπλάσια της BD ;

Αν απαντήσατε ναι , προχωρήστε : Ο κύκλος ( A,D,O) τέμνει την AB στο T .

β1) Δείξτε ότι η OB διχοτομεί την γωνία \widehat{COT} .

β2) Δείξτε ότι η προέκταση της CB εφάπτεται αυτού του κύκλου ( στο S ) .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 776
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Παντού υπάρχει ένας κύκλος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Ιουν 26, 2019 9:49 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Ιουν 26, 2019 8:26 pm
Παντού υπάρχει ένας κύκλος.pngΣτο παραλληλόγραμμο ABCD , η πλευρά AB είναι διπλάσια της AD

α) Υπάρχει περίπτωση να είναι και η διαγώνιος AC διπλάσια της BD ;

Αν απαντήσατε ναι , προχωρήστε : Ο κύκλος ( A,D,O) τέμνει την AB στο T .

β1) Δείξτε ότι η OB διχοτομεί την γωνία \widehat{COT} .

β2) Δείξτε ότι η προέκταση της CB εφάπτεται αυτού του κύκλου ( στο S ) .
Καλησπέρα!
α)
Έστω AD=a και \widehat{BAD}=\theta

Με νόμο συνημιτόνων παίρνουμε τις σχέσεις:
AC^2=a^2+4a^2+2\cdot a\cdot 2a\cos\theta =5a^2+4a^2\cos\theta

BD^2=a^2+4a^2-2\cdot a\cdot 2a\cos\theta =5a^2-4a^2\cos\theta

Για AC^2=4BD^2 πρέπει:

5a^2+4a^2\cos\theta =20a^2-16a^2\cos\theta \Leftrightarrow \cos\theta =\dfrac{3}{4}

Άρα γίνεται ,αρκεί να είναι \cos\theta =\dfrac{3}{4}

β1)

Από τις πάνω σχέσεις εύκολα προκύπτει ότι BD=a\sqrt{2},AC=2\sqrt{2}a

Είναι \widehat{BAD}=\widehat{TOB} οπότε αρκεί \widehat{TOB}=\widehat{BAD}

Με νόμο συνημιτόνων στο BOC: a^2=\dfrac{a^2}{2}+2a^2-2\cdot \dfrac{a\sqrt{2}}{2}\cdot a\sqrt{2}\cos\widehat{TOB}\Leftrightarrow \dfrac{3}{2}a^2=2a^2\cos\widehat{TOB}\Leftrightarrow \cos\widehat{TOB}=\dfrac{3}{4}=\cos\theta δηλαδή η OB διχοτομεί την \widehat{TOC}

β2)

Έστω K το κέντρο του περίκυκλου του ADO.

DC^2=4a^2=\sqrt{2}a\cdot 2\sqrt{2}a=CO\cdot CA άρα η DC εφάπτεται του κύκλου.

Φέρω τα τμήματα CK και DT και αρκεί CK διχοτόμος της \widehat{DCB}.

Επειδή CD εφαπτομένη είναι \widehat{TDC}=\theta,γωνία χορδής-εφαπτομένης.

Άρα DTBC ισοσκελές τραπέζιο ,οπότε CT=BD=OC,έτσι CK μεσοκάθετος του OT και διχοτόμος της \widehat{OCT}

\widehat{TCB}=\widehat{TDO}=\widehat{TAO}=\widehat{DCO} δηλαδή \widehat{DCK}=\widehat{KCB}

και έτσι CS εφαπτόμενη.
74.PNG
74.PNG (40.26 KiB) Προβλήθηκε 354 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7343
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Παντού υπάρχει ένας κύκλος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιουν 27, 2019 2:32 am

Από το Θ διαμέσων στο \vartriangle ADB: A{B^2} + A{D^2} = 2A{O^2} + \dfrac{{D{B^2}}}{2} \Rightarrow 4{a^2} + {a^2} = 2{(2k)^2} + \dfrac{{{{(2k)}^2}}}{2} και άρα : 5{a^2} = 10{b^2} \Leftrightarrow \boxed{a = b\sqrt 2 }

Με ( k=b)

Γράφω το κύκλο (O,B,C) , επειδή A{B^2} = AO \cdot AC \Leftrightarrow {a^2} = 2{b^2} η ευθεία AB εφάπτεται στον κύκλο αυτό .

Εύκολα τώρα έχω : \left\{ \begin{gathered} 
  \widehat {{\omega _3}} = \widehat {{\omega _2}} = \widehat {{\omega _1}}\,\,\kappa \alpha \iota  \hfill \\ 
  \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\omega _3}} + \widehat \phi  = \widehat {{\omega _1}} + \widehat \phi  = \widehat {BAD} = \widehat {{\theta _2}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.
παντού υπάρχει ένας κύκλος.png
παντού υπάρχει ένας κύκλος.png (37.44 KiB) Προβλήθηκε 308 φορές
Ας είναι S το συμμετρικό του C ως προς το B , επειδή :

C{S^2} = {(2a)^2} = 4{a^2} = 8{b^2} = CO \cdot CA η ευθεία CS εφάπτεται του κύκλου (A,D,O).

Παρατήρηση : το τετράπλευρο ADOS είναι αρμονικό και η AO είναι συμμετροδιάμεσος στο \vartriangle ADS.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9579
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Παντού υπάρχει ένας κύκλος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιουν 27, 2019 5:35 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Ιουν 26, 2019 8:26 pm
Παντού υπάρχει ένας κύκλος.pngΣτο παραλληλόγραμμο ABCD , η πλευρά AB είναι διπλάσια της AD

α) Υπάρχει περίπτωση να είναι και η διαγώνιος AC διπλάσια της BD ;

Αν απαντήσατε ναι , προχωρήστε : Ο κύκλος ( A,D,O) τέμνει την AB στο T .

β1) Δείξτε ότι η OB διχοτομεί την γωνία \widehat{COT} .

β2) Δείξτε ότι η προέκταση της CB εφάπτεται αυτού του κύκλου ( στο S ) .

α) Σε κάθε παραλληλόγραμμο ABCD ισχύει: \displaystyle 2(A{D^2} + D{C^2}) = A{C^2} + B{D^2}.

Με DC=2a=2AD και AC=2BD, αρκεί να επιλέξουμε \boxed{BD=a\sqrt 2}
Ένας κύκλος.png
Ένας κύκλος.png (18.28 KiB) Προβλήθηκε 269 φορές
β1) \displaystyle C{D^2} = 4{a^2} = \frac{{C{A^2}}}{2} = CO \cdot CA, άρα η CD εφάπτεται στον κύκλο και οι ροζ γωνίες είναι ίσες.

\displaystyle \omega  = T\widehat AD = T\widehat AO + O\widehat AD = A\widehat CD + O\widehat DC = \varphi

β2) όπως και ο Νίκος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Μιχάλης Τσουρακάκης και 2 επισκέπτες