Παντού υπάρχει ένας κύκλος

KARKAR · #1

: Παντού υπάρχει ένας κύκλος.png (14.74 KiB) Προβλήθηκε 529 φορές

Στο παραλληλόγραμμο ABCD

, η πλευρά

είναι διπλάσια της

α) Υπάρχει περίπτωση να είναι και η διαγώνιος

διπλάσια της

;

Αν απαντήσατε ναι , προχωρήστε : Ο κύκλος ( A,D,O)

τέμνει την

στο

.

β1) Δείξτε ότι η

διχοτομεί την γωνία $\widehat{COT}$ .

β2) Δείξτε ότι η προέκταση της

εφάπτεται αυτού του κύκλου ( στο

) .

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 26, 2019 8:26 pm
Παντού υπάρχει ένας κύκλος.pngΣτο παραλληλόγραμμο , η πλευρά είναι διπλάσια της

α) Υπάρχει περίπτωση να είναι και η διαγώνιος διπλάσια της ;

Αν απαντήσατε ναι , προχωρήστε : Ο κύκλος τέμνει την στο .

β1) Δείξτε ότι η διχοτομεί την γωνία $\widehat{COT}$ .

β2) Δείξτε ότι η προέκταση της εφάπτεται αυτού του κύκλου ( στο ) .

Καλησπέρα!
α)
Έστω AD=a

και $\widehat{BAD}=\theta$

Με νόμο συνημιτόνων παίρνουμε τις σχέσεις:
$AC^2=a^2+4a^2+2\cdot a\cdot 2a\cos\theta =5a^2+4a^2\cos\theta$

$BD^2=a^2+4a^2-2\cdot a\cdot 2a\cos\theta =5a^2-4a^2\cos\theta$

Για AC^2=4BD^2

πρέπει:

$5a^2+4a^2\cos\theta =20a^2-16a^2\cos\theta \Leftrightarrow \cos\theta =\dfrac{3}{4}$

Άρα γίνεται ,αρκεί να είναι $\cos\theta =\dfrac{3}{4}$

β1)

Από τις πάνω σχέσεις εύκολα προκύπτει ότι $BD=a\sqrt{2},AC=2\sqrt{2}a$

Είναι $\widehat{BAD}=\widehat{TOB}$ οπότε αρκεί $\widehat{TOB}=\widehat{BAD}$

Με νόμο συνημιτόνων στο BOC

: $a^2=\dfrac{a^2}{2}+2a^2-2\cdot \dfrac{a\sqrt{2}}{2}\cdot a\sqrt{2}\cos\widehat{TOB}\Leftrightarrow \dfrac{3}{2}a^2=2a^2\cos\widehat{TOB}\Leftrightarrow \cos\widehat{TOB}=\dfrac{3}{4}=\cos\theta$ δηλαδή η

διχοτομεί την $\widehat{TOC}$

β2)

Έστω

το κέντρο του περίκυκλου του ADO

.

$DC^2=4a^2=\sqrt{2}a\cdot 2\sqrt{2}a=CO\cdot CA$ άρα η

εφάπτεται του κύκλου.

Φέρω τα τμήματα

και

και αρκεί

διχοτόμος της $\widehat{DCB}$ .

Επειδή

εφαπτομένη είναι $\widehat{TDC}=\theta$ ,γωνία χορδής-εφαπτομένης.

Άρα DTBC

ισοσκελές τραπέζιο ,οπότε CT=BD=OC

,έτσι

μεσοκάθετος του

και διχοτόμος της $\widehat{OCT}$

$\widehat{TCB}=\widehat{TDO}=\widehat{TAO}=\widehat{DCO}$ δηλαδή $\widehat{DCK}=\widehat{KCB}$

και έτσι

εφαπτόμενη.

: 74.PNG (40.26 KiB) Προβλήθηκε 503 φορές

#3

Από το Θ διαμέσων στο $\vartriangle ADB$ : $A{B^2} + A{D^2} = 2A{O^2} + \dfrac{{D{B^2}}}{2} \Rightarrow 4{a^2} + {a^2} = 2{(2k)^2} + \dfrac{{{{(2k)}^2}}}{2}$ και άρα : $5{a^2} = 10{b^2} \Leftrightarrow \boxed{a = b\sqrt 2 }$

Με ( k=b

)

Γράφω το κύκλο (O,B,C)

, επειδή $A{B^2} = AO \cdot AC \Leftrightarrow {a^2} = 2{b^2}$ η ευθεία

εφάπτεται στον κύκλο αυτό .

Εύκολα τώρα έχω : $\left\{ \begin{gathered} \widehat {{\omega _3}} = \widehat {{\omega _2}} = \widehat {{\omega _1}}\,\,\kappa \alpha \iota \hfill \\ \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\omega _3}} + \widehat \phi = \widehat {{\omega _1}} + \widehat \phi = \widehat {BAD} = \widehat {{\theta _2}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

: παντού υπάρχει ένας κύκλος.png (37.44 KiB) Προβλήθηκε 457 φορές

Ας είναι

το συμμετρικό του

ως προς το

, επειδή :

$C{S^2} = {(2a)^2} = 4{a^2} = 8{b^2} = CO \cdot CA$ η ευθεία

εφάπτεται του κύκλου (A,D,O)

.

Παρατήρηση : το τετράπλευρο ADOS

είναι αρμονικό και η

είναι συμμετροδιάμεσος στο $\vartriangle ADS$ .

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 26, 2019 8:26 pm
Παντού υπάρχει ένας κύκλος.pngΣτο παραλληλόγραμμο , η πλευρά είναι διπλάσια της

α) Υπάρχει περίπτωση να είναι και η διαγώνιος διπλάσια της ;

Αν απαντήσατε ναι , προχωρήστε : Ο κύκλος τέμνει την στο .

β1) Δείξτε ότι η διχοτομεί την γωνία $\widehat{COT}$ .

β2) Δείξτε ότι η προέκταση της εφάπτεται αυτού του κύκλου ( στο ) .

α) Σε κάθε παραλληλόγραμμο ABCD

ισχύει: $\displaystyle 2(A{D^2} + D{C^2}) = A{C^2} + B{D^2}.$

Με DC=2a=2AD

και

αρκεί να επιλέξουμε $\boxed{BD=a\sqrt 2}$

: Ένας κύκλος.png (18.28 KiB) Προβλήθηκε 418 φορές

β1) $\displaystyle C{D^2} = 4{a^2} = \frac{{C{A^2}}}{2} = CO \cdot CA,$ άρα η

εφάπτεται στον κύκλο και οι ροζ γωνίες είναι ίσες.

$\displaystyle \omega = T\widehat AD = T\widehat AO + O\widehat AD = A\widehat CD + O\widehat DC = \varphi$

β2) όπως και ο Νίκος.

Παντού υπάρχει ένας κύκλος

Παντού υπάρχει ένας κύκλος

Re: Παντού υπάρχει ένας κύκλος

Re: Παντού υπάρχει ένας κύκλος

Re: Παντού υπάρχει ένας κύκλος

Μέλη σε σύνδεση