Λόγος εμβαδών από συμμετρία

#1

: Λόγος εμβαδών από συμμετρία.png (12.83 KiB) Προβλήθηκε 910 φορές

Έστω

το μέσο του ύψους

ορθογωνίου τριγώνου $ABC(\widehat A=90^\circ).$

Οι συμμετρικές της

ως προς τις BM, CM

τέμνονται στο

Να βρείτε το λόγο $\dfrac{(ABC)}{(EBC)}.$

ksofsa · #2

Το Μ έγκεντρο του EBC

BD=s-y, CD=s-z

$AD=\sqrt{(s-y)(s-z)}$

$(EBC)=sr=\sqrt{s(s-x)(s-y)(s-z)}\Leftrightarrow \dfrac{s\sqrt{(s-z)(s-y)}}{2}=\sqrt{s(s-x)(s-y)(s-z)}\Leftrightarrow \sqrt{s}=2\sqrt{s-x}\Leftrightarrow s=4s-4x\Leftrightarrow \dfrac{x}{s}=\dfrac{3}{4}$

Εχω

$\dfrac{(ABC)}{(EBC)}=\dfrac{\dfrac{AD\cdot x}{2}}{sr}=\dfrac{x}{s}=\dfrac{3}{4}$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 01, 2019 7:27 pm
Λόγος εμβαδών από συμμετρία.png
Έστω το μέσο του ύψους ορθογωνίου τριγώνου $ABC(\widehat A=90^\circ).$

Οι συμμετρικές της ως προς τις τέμνονται στο Να βρείτε το λόγο $\dfrac{(ABC)}{(EBC)}.$

Είναι $\left ( ABC \right )=\dfrac{1}{2}BC^2\cos\widehat{CBA}\sin\widehat{CBA}$

Με νόμο ημιτόνων στο BEC

είναι $BE=\dfrac{BC\sin\widehat{ECB}}{\sin\left ( \widehat{EBC}+\widehat{ECB} \right )}$
Άρα $\left ( EBC \right )=\dfrac{1}{2}BC\cdot EB=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\sin\widehat{EBC}\cdot \sin\widehat{ECB}}{\sin\left ( \widehat{ECB} +\widehat{EBC}\right )}BC^2=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{BC^2}{\cot\widehat{ECB}+\cot\widehat{EBC}}$

Έχουμε: $\cot\widehat{EBC}=\cot\left ( 2\widehat{MBC} \right )=\dfrac{\cot^2\widehat{MBC}-1}{2\cot\widehat{MBC}}=\dfrac{4\cot^2\widehat{ABC}-1}{4\cot\widehat{ABC}}$

Όμοια $\cot\widehat{ECB}=\dfrac{4\cot^2\widehat{ACB}-1}{4\cot\widehat{ACB}}=\dfrac{\dfrac{4}{\cot^2\widehat{ABC}}-1}{\dfrac{4}{\cot\widehat{ABC}}}=\dfrac{4-\cot^2\widehat{ABC}}{4\cot\widehat{ABC}}$

Έτσι είναι
$\cot\widehat{ECB}+\cot\widehat{EBC}=\dfrac{4\cot^2\widehat{ABC}-1}{4\cot\widehat{ABC}}+\dfrac{4-\cot^2\widehat{ABC}}{4\cot\widehat{ABC}} =\dfrac{3\cot^2\widehat{ABC}+3}{4\cot\widehat{ABC}}=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{\dfrac{1}{\sin^2\widehat{ABC}}}{\dfrac{\cos\widehat{ABC}}{\sin\widehat{ABC}}}=...\dfrac{3}{4\cos\widehat{ABC}\sin\widehat{ABC}}$

Έχουμε $\dfrac{\left ( ABC \right )}{\left ( EBC \right )}=\dfrac{BC^2\cos\widehat{ABC}\sin\widehat{ABC}}{BC^2\cdot \dfrac{4}{3}\cos\widehat{ABC}\sin\widehat{ABC}}=\dfrac{3}{4}$

#4

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 01, 2019 7:27 pm
Λόγος εμβαδών από συμμετρία.png
Έστω το μέσο του ύψους ορθογωνίου τριγώνου $ABC(\widehat A=90^\circ).$

Οι συμμετρικές της ως προς τις τέμνονται στο Να βρείτε το λόγο $\dfrac{(ABC)}{(EBC)}.$

Για κάθε τρίγωνο ABC

με ημιπερίμετρο

και ακτίνα εγγεγραμμένου κύκλου

ισχύει :

$\boxed{{r^2} = \frac{{(s - a)(s - b)(s - c)}}{s}}$

: Εμβαδόν και συμμετρία.png (20.96 KiB) Προβλήθηκε 699 φορές

Στο συγκεκριμένο τρίγωνο EBC

με έγκεντρο

και ακτίνα $\boxed{r = \frac{{AD}}{2}}$ θεωρώ $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ τα σημεία επαφής $EC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EB$ με το κύκλο (M,r)

.

Θέτω $EK = EL = x\,\,,\,\,BD = Bl = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD = CK = w$ και θα είναι :

$A{D^2} = DB \cdot DC \Leftrightarrow \boxed{4{r^2} = yw}\,\,(1)$ και επειδή:

${r^2} = \dfrac{{(s - BC)(s - CE)(s - EB)}}{s} = \dfrac{{xyw}}{s} = \dfrac{{x4{r^2}}}{s}$ θα έχω : $s = 4x \Leftrightarrow x + y + w = 4x \Leftrightarrow \boxed{x = \frac{{BC}}{3} = \frac{a}{3}}$

$\boxed{\dfrac{{(ABC)}}{{(EBC)}} = \dfrac{{ar}}{{(x + y + w)r}} = \dfrac{a}{{a + \dfrac{a}{3}}} = \dfrac{3}{4}}$

#5

Κάπως διαφορετικά, χρησιμοποιώντας όμως ότι το

είναι έγκεντρο του τριγώνου EBC.

: Λόγος εμβαδών από συμμετρία.β.png (16.92 KiB) Προβλήθηκε 637 φορές

Φέρνω την εφαπτομένη του έγκυκλου στο

που τέμνει τις AB, AC

στα

και το ύψος

του τριγώνου EBC.

Προφανώς,

και τα τρίγωνα APM, DMB

είναι όμοια:

$\displaystyle \frac{{AP}}{{MD}} = \frac{{AM}}{{BD}} \Leftrightarrow \frac{{A{D^2}}}{4} = AP \cdot BD \Leftrightarrow BD \cdot DC = 4AP \cdot BD \Leftrightarrow DC = 4AP$

Ομοίως, $\displaystyle BD = 4AQ \Rightarrow BC = 4PQ \Leftrightarrow \frac{{EK}}{{EL}} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{{AD}}{{EL}} = \frac{{KL}}{{EL}} = \frac{3}{4},$ άρα $\boxed{\frac{(ABC}{(EBC)}=\frac{3}{4}}$

#6

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 04, 2019 2:06 pm
Κάπως διαφορετικά, χρησιμοποιώντας όμως ότι το είναι έγκεντρο του τριγώνου Λόγος εμβαδών από συμμετρία.β.png
Φέρνω την εφαπτομένη του έγκυκλου στο που τέμνει τις στα και το ύψος του τριγώνου

Προφανώς, και τα τρίγωνα είναι όμοια:

$\displaystyle \frac{{AP}}{{MD}} = \frac{{AM}}{{BD}} \Leftrightarrow \frac{{A{D^2}}}{4} = AP \cdot BD \Leftrightarrow BD \cdot DC = 4AP \cdot BD \Leftrightarrow DC = 4AP$

Ομοίως, $\displaystyle BD = 4AQ \Rightarrow BC = 4PQ \Leftrightarrow \frac{{EK}}{{EL}} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{{AD}}{{EL}} = \frac{{KL}}{{EL}} = \frac{3}{4},$ άρα $\boxed{\frac{(ABC}{(EBC)}=\frac{3}{4}}$

Λόγος εμβαδών από συμμετρία

Λόγος εμβαδών από συμμετρία

Re: Λόγος εμβαδών από συμμετρία

Re: Λόγος εμβαδών από συμμετρία

Re: Λόγος εμβαδών από συμμετρία

Re: Λόγος εμβαδών από συμμετρία

Re: Λόγος εμβαδών από συμμετρία

Μέλη σε σύνδεση