Ίσες διαδρομές

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10946
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ίσες διαδρομές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Ιούλ 08, 2019 10:41 am

Ίσες  διαδρομές.png
Ίσες διαδρομές.png (12.46 KiB) Προβλήθηκε 599 φορές
Στο τρίγωνο του σχήματος εξηγήστε γιατί : AB+BD=AE+EB

Επιπλέον υπολογίστε το τμήμα ED συναρτήσει της πλευράς BC=a .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11542
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ίσες διαδρομές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Ιούλ 08, 2019 3:27 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιούλ 08, 2019 10:41 am
Ίσες διαδρομές.pngΣτο τρίγωνο του σχήματος εξηγήστε γιατί : AB+BD=AE+EB

Επιπλέον υπολογίστε το τμήμα ED συναρτήσει της πλευράς BC=a .
Υπάρχουν διάφορες λύσεις αλλά, για να κλείει, ας δούμε μία Τριγωνομετρική: Από τον Νόμο των Ημιτόνων στα τρίγωνα ABE, ABD το αποδεικτέο
ισοδυναμεί με

\displaystyle{ c + \dfrac {c\sin 30}{\sin 70} = \dfrac {c\sin 40}{\sin 80} + \dfrac {c\sin 60}{\sin 80}  } δηλαδή

\displaystyle{ (\sin 70 + \sin 30)\sin 80 = (\sin 40 + \sin 60)\sin 70 }

Από  2\sin a\sin b = \cos (a-b) - \cos (a+b) το προηγούμενο γράφεται

 (\cos 10 + \cos 30) + (\cos 50 + \cos 20) = (\cos 30 + \cos 20)+ (\cos 10 + \cos 50), που είναι ταυτολογία. Και λοιπά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8506
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ίσες διαδρομές

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιούλ 08, 2019 3:51 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιούλ 08, 2019 10:41 am
Ίσες διαδρομές.pngΣτο τρίγωνο του σχήματος εξηγήστε γιατί : AB+BD=AE+EB

Επιπλέον υπολογίστε το τμήμα ED συναρτήσει της πλευράς BC=a .
Για το πρώτο ερώτημα. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι η AD είναι διχοτόμος.
Ίσες διαδρομές.Κ.png
Ίσες διαδρομές.Κ.png (13.72 KiB) Προβλήθηκε 533 φορές
\displaystyle AB + BD = AE + EB = AE + EC = AC \Leftrightarrow c + \frac{{ac}}{{b + c}} = b \Leftrightarrow {b^2} = {c^2} + ac

που ισχύει αφού, \widehat B=2\widehat C.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8506
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ίσες διαδρομές

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιούλ 08, 2019 7:08 pm

Στο δεύτερο ερώτημα (δεν πρόκειται να γράψω πώς και γιατί) βρίσκω με τη βοήθεια λογισμικού:

\displaystyle ED = \frac{a}{{{k^3} - k}}\sqrt {{k^6} - {k^5} - 2{k^2} + 1}, όπου \displaystyle \frac{b}{c} = k \simeq 1,5321

Τελικά, \boxed{ED\simeq 0,4325a}


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11542
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ίσες διαδρομές

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Ιούλ 09, 2019 12:14 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιούλ 08, 2019 10:41 am
Ίσες διαδρομές.pngΣτο τρίγωνο του σχήματος εξηγήστε γιατί : AB+BD=AE+EB

Επιπλέον υπολογίστε το τμήμα ED συναρτήσει της πλευράς BC=a .
Και μία καθαρά Γεωμετρική.

Φέρνουμε την DF παράλληλη της  BE. Εύκολα βρίσκουμε τα μέτρα των γωνιών του σχήματος, από όπου βλέπουμε ότι τα τρίγωνα AFD, ADB είναι ίσα (έχουν την AD κοινή και αντίστοιχα ίσες γωνίες). Άρα

AB+BD=AB+BF= AF= AC = AE+EC= AE+EB.
Συνημμένα
isa miki.png
isa miki.png (13.37 KiB) Προβλήθηκε 458 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1107
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ίσες διαδρομές

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Ιούλ 09, 2019 12:35 am

Καλημέρα σε όλους! Για το α' ερώτημα
Ίσες διαδρομές.PNG
Ίσες διαδρομές.PNG (8.8 KiB) Προβλήθηκε 453 φορές
Έστω H \in AC με AH=AB. Εύκολα βρίσκουμε ότι το BAHD είναι χαρταετός και έχουμε

AE+EB=AE+EC=AC ενώ και AB+BD=AH+HD=AH+HC=AC .

Άρα AE+EB=AB+BD.
Διόρθωσα λάθος πληκτρολόγησης: το ορθό είναι AB+BD αντί του AB+AD.

Ευχαριστώ τον Ανδρέα για την (πιο κάτω) επισήμανση.

Φιλικά , Γιώργος
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Μήτσιος σε Σάβ Ιούλ 13, 2019 3:01 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1692
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ίσες διαδρομές

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Ιούλ 09, 2019 10:15 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιούλ 08, 2019 10:41 am
Ίσες διαδρομές.pngΣτο τρίγωνο του σχήματος εξηγήστε γιατί : AB+BD=AE+EB

Επιπλέον υπολογίστε το τμήμα ED συναρτήσει της πλευράς BC=a .
Αν \displaystyle Z = \left( {A,AC} \right) \cap CB τότε με βάση τις γωνίες του σχήματος, \displaystyle AB = ZB

άρα \displaystyle ZD = AB + BD = AZ = AC=AE + EC = AE + BE
I.D.png
I.D.png (15.42 KiB) Προβλήθηκε 425 φορές


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1403
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Ίσες διαδρομές

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Σάβ Ιούλ 13, 2019 2:01 pm

Επείδή δεν βλέπω τρόπο επικοινωνίας με Γιώργιος Μήτσιο,
γράφω δημόσια.
Η πρόταση AE+EB=AE+EC=AC ενώ και AB+AD=AH+HD=AH+HC=AC,
πρέπει να έχει κάποιο τυπογραφικό (;) λάθος.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1828
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ίσες διαδρομές

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Σάβ Ιούλ 13, 2019 7:08 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Ιούλ 08, 2019 10:41 am
Ίσες διαδρομές.pngΣτο τρίγωνο του σχήματος εξηγήστε γιατί : AB+BD=AE+EB

Επιπλέον υπολογίστε το τμήμα ED συναρτήσει της πλευράς BC=a .
Προεκτείνω την AB κατα ίσο τμήμα BN τότε η ND τέμνει την AC
στο σημείο P

Είναι

\hat{BDN}=\hat{BND}=40^{0}=\hat{PDC}=\hat{PCD}=\hat{EBC}\Rightarrow BE//NP,DP=PC,EB=EC,\hat{ADB}=\hat{ADP}=70^{0}

τότε τα τρίγωνα ADN,ADC είναι ίσα και AN=AC\Rightarrow AB+BN=AE+EC\Rightarrow AB+BD=AE+EC=AC



Γιάννης
Συνημμένα
Ισες διαδρομές.png
Ισες διαδρομές.png (76.54 KiB) Προβλήθηκε 299 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης