Κόκκινη επιφάνεια

#1

: Κόκκινη επιφάνεια.png (10.82 KiB) Προβλήθηκε 731 φορές

Το

είναι τετράγωνο πλευράς

και τα

είναι ίσα ορθογώνια.

α) Να κατασκευάσετε το σχήμα.................. β) Να βρείτε το εμβαδόν της κόκκινης επιφάνειας συναρτήσει του

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 14, 2019 10:01 am

Το είναι τετράγωνο πλευράς και τα είναι ίσα ορθογώνια.

α) Να κατασκευάσετε το σχήμα.................. β) Να βρείτε το εμβαδόν της κόκκινης επιφάνειας συναρτήσει του

Καλημέρα....

α) Έστω ότι το ζητούμενο σχήμα έχει κατασκευαστεί και είναι το ακόλουθο:

: Κόκκινη επιφάνεια 1.png (14.15 KiB) Προβλήθηκε 631 φορές

Έστω ακόμα ότι η πλευρά του ζητούμενου ορθογωνίου είναι: $\displaystyle{DP=b \ \ (1)}$
Τότε θα είναι:

$\displaystyle{PS+SA=a-b}$
και
$\displaystyle{PN+NQ=a}$

άρα:

$\displaystyle{asin\phi +bcos\phi=a-b \ \ (2)}$
$\displaystyle{bsin\phi+acos\phi=a \ \ (3)}$

Οι εξισώσεις (2) και (3) είναι ένα σύστημα γραμμικό ως προς τα $\displaystyle{sin\phi, \ \ cos\phi }$ και εύκολα λύνεται.
Άρα:
$\displaystyle{sin\phi=\frac{a^2-2ab}{a^2-b^2} \ \ (4)}$

$\displaystyle{cos\phi=\frac{a^2+b^2-ab}{a^2-b^2} \ \ (5)}$

Από τις σχέσεις (4) και (5) και από τη θεμελιώδη τριγωνομετρική ταυτότητα προκύπτει μετά από πράξεις:

$\displaystyle{2b^3-9ab^2+6a^2b-a^3=0 \ \ (6)}$

Η τελευταία γράφεται με κάποια προσπάθεια ακόμα και ως εξής:

$\displaystyle{(2b-a)(a^2-4ab+b^2)=0 \ \ (7)}$

Η εξίσωση (7) έχει ως λύσεις με άγνωστο το $\displaystyle{b}$ τις ακόλουθες:

$\displaystyle{b_1=\frac{a}{2}, \ \ b_2=(2-\sqrt{3})a, \ \ b_2=(2+\sqrt{3})a \ \ (8) }$

Από τις τρεις αυτές λύσεις μελετούμε τη δεύτερη, δηλαδή:

$\displaystyle{b=(2-\sqrt{3})a \ \ (9)}$

Η τιμή αυτή της (9) με την εξίσωση (3) δίνει την τριγωνομετρική εξίσωση:

$\displaystyle{(2-\sqrt{3})sin\phi +cos\phi =1 \ \ (10)}$

Η εξίσωση (10) λύνεται με το γνωστό τρόπο και δίνει ως αρχική λύση την

$\displaystyle{\phi =30^o \ \ (11) }$

Από την τιμή της γωνίας και από την τιμή του $\displaystyle{b=(2-\sqrt{3})a}$ εύκολα
κατασκευάζεται το ζητούμενο σχήμα καθώς και τα ζητούμενα εμβαδά.

Με τις τιμές αυτές κατασκευάστηκε και το σχήμα που αναρτώ.

Παρατήρηση:
Ενδιαφέρον θα ήταν να μελετήσει κανείς τι συμβαίνει γενικότερα και με τις
άλλες δύο λύσεις της αναφοράς (8)

Κώστας Δόρτσιος

#3

Καλημέρα σε όλους!

Σ' ευχαριστώ Κώστα για την εμπεριστατωμένη λύση! Να παρατηρήσω εδώ ότι οι άλλες δύο λύσεις της σχέσης (8),

δηλαδή

$b=(2+\sqrt 3)a$ ή $b=\dfrac{a}{2}$ απορρίπτονται. Η πρώτη γιατί δίνει b>a

που είναι άτοπο αφού $\displaystyle b < a,$ και η δεύτερη γιατί

στην ουσία ζητείται να εγγράψουμε σε ένα ορθογώνιο ένα άλλο ορθογώνιο ίσο με το αρχικό, που είναι αδύνατο.

Altrian · #4

Καλημέρα,

Βασίζομαι στο σχήμα του Κώστα και έχω:
$a=DA=b+bcos\phi+asin\phi\Rightarrow b=\dfrac{a(1-sin\phi)}{1+cos\phi}$
$a=PQ=bsin\phi+acos\phi\Rightarrow b=\dfrac{a(1-cos\phi)}{sin\phi}$

Από την ισότητα των δεύτερων μελών παίρνω: $(1-sin\phi)sin\phi=(1-cos\phi)(1+cos\phi)=sin^{2}\phi\Rightarrow sin\phi=\frac{1}{2}\Rightarrow \phi=30$ .

Αρα $b=a(2-\sqrt{3})$

Οπότε για την κατασκευή

μέσο της

κλπ.

Για το κόκκινο εμβαδό $K=a^{2}-2ab=a^{2}-2a^{2}(2-\sqrt{3})=a^{2}(2\sqrt{3}-3)$

#5

Ευχαριστώ και τον Αλέξανδρο για την όμορφη λύση του που δίνει απευθείας $\boxed{\phi=30^\circ}$

Να προσθέσω ακόμα στη λύση του Κώστα ότι επειδή a>b

και $\displaystyle\cos \phi < 1,$ από τη σχέση (5)

προκύπτει ότι $\boxed{b<\frac{a}{2}}$ γεγονός που δίνει τη μοναδική ρίζα $\boxed{b=a(2-\sqrt 3)}$ της εξίσωσης (7).

#6

Γιώργο και Αλέξανδρε καλημέρα...

Θα ήθελα να συνεχίσω λίγο την κουβέντα, αφού με την υπαινιγμό που έκανα στην
αρχική μου ανάρτηση για κάποια "γενίκευση" είδα τις σκέψεις του Γιώργουυ.

Ναι, έτσι είναι Γιώργο, όπως τα έγραψες. Εγώ απλά θα ήθελα να συμπληρώσω
αρχικά σκεπτόμενος το εξής σχήμα:

: Κόκκινη επιφάνεια 4.png (42.97 KiB) Προβλήθηκε 518 φορές

Το σχήμα αυτό περιλαμβάνει ένα τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ κι ένα άλλο το $\displaystyle{P_oQ_oR_o}$ του οποίου οι κορυφές
$\displaystyle{P_o, Q_o, R_o}$ ανήκουν στους φορείς των πλευρών του αρχικού τριγώνου $\displaystyle{ABC}$ και όχι μόνο στις
πλευρές αυτού.
Θα μπορούσαμε και σ' αυτή την περίπτωση να πούμε ότι το $\displaystyle{P_oQ_oR_o}$ είναι "εγγεγραμμένο" στο τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$
και στις δυο περιπτώσεις;

Αν δεχθούμε μια τέτοια ιδέα, τότε για τις άλλες δύο λύσεις της αναφοράς (8) του αρχικού μου μηνύματος μπορούμε
να τις δεχθούμε ότι λειτουργούν.
Δηλαδή:
1ο) Η λύση $\displaystyle{b=\frac{a}{2}}$ υλοποιείται στο σχήμα:

: Κόκκινη επιφάνεια 2.png (6.44 KiB) Προβλήθηκε 518 φορές

Στο σχήμα αυτό το ζητούμενο ορθογώνιο $\displaystyle{MNST}$ ταυτίζεται με το $\displaystyle{ABPQ}$ , όπως δείχνουν και οι ετικέτες των
κορυφών αυτού. (όπως αναφέρει και ο Γιώργος)

2ο) Η λύση $\displaystyle{b=(2+\sqrt{3})a}$ υλοποιείται στο ακόλουθο σχήμα:

: Κόκκινη επιφάνεια 3.png (20.3 KiB) Προβλήθηκε 518 φορές

Στο σχήμα αυτό βλέπουμε:
Στο σχήμα (Α) και σύμφωνα με την ανωτέρω τιμή του $\displaystyle{b}$ βλέπουμε το ορθογώνιο $\displaystyle{CDPQ}$ το οποίο θέλουμε να
"εγγράψουμε" στο "υπόλοιπο" ορθογώνιο που απομένει από το αρχικό $\displaystyle{ABCD}$ .
Το "υπόλοιπο" αυτό είναι το αλγεβρικό υπόλοιπο, δηλαδή το $\displaystyle{ABQP}$ που φαίνεται στο σχήμα (Β).
Έτσι, σύμφωνα με την αντίληψη που διατυπώθηκε αρχικά για τη γενικευμένη έννοια της εγγραψιμότητας το
ορθογώνιο $\displaystyle{CDPQ}$ "εγγράφεται ως $\displaystyle{MNST}$ στο $\displaystyle{ABQP}$ , όπως δείχνει το σχήμα (Γ).
Στο σχήμα αυτό βλέπουμε ότι οι δύο κορυφές $\displaystyle{S,T}$ βρίσκονται στις προεκτάσεις των $\displaystyle{AP, QB}$ αντίστοιχα.

Έτσι με τη "γενίκευση" αυτή υλοποιούνται και οι τρεις λύσεις της αναφοράς (8) του αρχικού μου μηνύματος.

Κώστας Δόρτσιος

Κόκκινη επιφάνεια

Κόκκινη επιφάνεια

Re: Κόκκινη επιφάνεια

Re: Κόκκινη επιφάνεια

Re: Κόκκινη επιφάνεια

Re: Κόκκινη επιφάνεια

Re: Κόκκινη επιφάνεια

Μέλη σε σύνδεση