Τετράγωνο και καθετότητα
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Τετράγωνο και καθετότητα
Καλημέρα σε όλους !
Την παρακάτω άσκηση μου έστειλε μόλις ένας συνάδελφος, δεν την έχω κοιτάξει όμως ακόμα(ούτε με αναλυτική γεωμετρία).
ΑΣΚΗΣΗ
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ με κέντρο Ο και σημείο Ε στην προέκταση της ΒΑ(προς το Α).
Η ΕΓ τέμνει την ΑΔ στο Ζ και η ΒΖ τέμνει την ΕΟ στο Η.Να αποδειχθεί ότι η ΑΗ είναι κάθετη στην ΒΖ.
Την παρακάτω άσκηση μου έστειλε μόλις ένας συνάδελφος, δεν την έχω κοιτάξει όμως ακόμα(ούτε με αναλυτική γεωμετρία).
ΑΣΚΗΣΗ
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ με κέντρο Ο και σημείο Ε στην προέκταση της ΒΑ(προς το Α).
Η ΕΓ τέμνει την ΑΔ στο Ζ και η ΒΖ τέμνει την ΕΟ στο Η.Να αποδειχθεί ότι η ΑΗ είναι κάθετη στην ΒΖ.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Τετράγωνο και καθετότητα
Αν το ύψος του τότε υπολογίζοντας τα συναρτήσει των τα τρίγωνα βγαίνουν όμοια.Ετσι το είναι εγράψιμο και το ζητούμενο προκύπτει .
Η διαδικασία των υπολογισμών είναι.
(παραλείπω τις πράξεις)
Θέτοντας
από θεώρημα διαμέσου υπολογίζουμε το .
το το υπολογίζουμε από την σχέση
Το υπολογίζεται από την
Η διαδικασία των υπολογισμών είναι.
(παραλείπω τις πράξεις)
Θέτοντας
από θεώρημα διαμέσου υπολογίζουμε το .
το το υπολογίζουμε από την σχέση
Το υπολογίζεται από την
τελευταία επεξεργασία από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ σε Τετ Ιούλ 17, 2019 2:28 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: Τετράγωνο και καθετότητα
Γεια σου Σταύρο !
Θα ακολουθήσω λίγο διαφορετικά την υπόδειξή σου :
Θέτουμε την πλευρά, . Τότε και έτσι .
Τα τρίγωνα και είναι όμοια ( οι περιεχόμενες γωνίες είναι μοίρες) και οι λόγοι που περιέχουν τις ίσες γωνίες είναι (εύκολα)
ίσοι με .
Άρα οι γωνίες και είναι ίσες. Επομένως η γωνία ΟΗΒ είναι (ως εξωτερική) ίση με :
.
Επομένως το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Να βρω λίγο χρόνο να γράψω τη λύση καλά σε Latex.
τελευταία επεξεργασία από Μπάμπης Στεργίου σε Κυρ Σεπ 08, 2019 6:58 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Τετράγωνο και καθετότητα
Έστω . Προφανώς (από ισότητα τριγώνων).Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑Τετ Ιούλ 17, 2019 9:48 amΚαλημέρα σε όλους !
Την παρακάτω άσκηση μου έστειλε μόλις ένας συνάδελφος, δεν την έχω κοιτάξει όμως ακόμα(ούτε με αναλυτική γεωμετρία).
ΑΣΚΗΣΗ
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ με κέντρο Ο και σημείο Ε στην προέκταση της ΒΑ(προς το Α).
Η ΕΓ τέμνει την ΑΔ στο Ζ και η ΒΖ τέμνει την ΕΟ στο Η.Να αποδειχθεί ότι η ΑΗ είναι κάθετη στην ΒΖ.
Από την κεντρική δέσμη και θα έχουμε: άρα το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές
Αν είναι τα σημεία τομής της εκ του κάθετης στις παράλληλες με αυτές αντίστοιχα, τότε προφανώς είναι οι προβολές του στις αντίστοιχα.
Με
Από τη σχέση σύμφωνα με το Stathis Koutras' Theorem προκύπτει ότι: και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Τετράγωνο και καθετότητα
Αλλιώς.
Η παράλληλη από το προς την τέμνει την στο .
Είναι
Ετσι
Από πρώτη και τελευταία προκύπτει ότι τα τρίγωνα
και είναι όμοια.
Αρα
Η τελευταία δίνει ότι το εγράψιμο και άμεσα προκύπτει το ζητούμενο
Η παράλληλη από το προς την τέμνει την στο .
Είναι
Ετσι
Από πρώτη και τελευταία προκύπτει ότι τα τρίγωνα
και είναι όμοια.
Αρα
Η τελευταία δίνει ότι το εγράψιμο και άμεσα προκύπτει το ζητούμενο
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Τετράγωνο και καθετότητα
Ας δούμε και μια διαφορετική προσέγγιση του προβλήματος στηριζόμενη σε ίσους διπλούς λόγους ...Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑Τετ Ιούλ 17, 2019 9:48 amΚαλημέρα σε όλους !
Την παρακάτω άσκηση μου έστειλε μόλις ένας συνάδελφος, δεν την έχω κοιτάξει όμως ακόμα(ούτε με αναλυτική γεωμετρία).
ΑΣΚΗΣΗ
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ με κέντρο Ο και σημείο Ε στην προέκταση της ΒΑ(προς το Α).
Η ΕΓ τέμνει την ΑΔ στο Ζ και η ΒΖ τέμνει την ΕΟ στο Η.Να αποδειχθεί ότι η ΑΗ είναι κάθετη στην ΒΖ.
Μετά την απόδειξη της παραλληλίας ( που έγινε στην προηγούμενη ανάρτηση) όπου τα σημεία τομής των με τις αντίστοιχα έχουμε : και με θα έχουμε:
Από θα είναι και συνεπώς και οι δέσμες και έχουν ίσους διπλούς λόγους και με τις (τρεις ομόλογες ακτίνες τους κάθετες ) θα είναι κάθετες και οι τέταρτες ομόλογες ακτίνες τους, δηλαδή και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Στάθης
τελευταία επεξεργασία από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ σε Τετ Ιούλ 17, 2019 2:34 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Τετράγωνο και καθετότητα
Καλό μεσημέρι σε όλους . Όπως εκ των υστέρων βλέπω η λύση που βρήκα είναι πάνω κάτω ίδια με αυτή του Μπάμπη Την υποβάλλω κυρίως για το σχήμα
Θέτω . Από τα όμοια τρίγωνα είναι
ενώ και άρα τα είναι όμοια με .
Τότε δηλ το εγγράψιμο και τελικά . Φιλικά Γιώργος.
ενώ και άρα τα είναι όμοια με .
Τότε δηλ το εγγράψιμο και τελικά . Φιλικά Γιώργος.
Re: Τετράγωνο και καθετότητα
Ας είναι τα σημεία τομής των με την . Θεωρώ σημείο του τμήματος έτσι ώστε : . Αλλά
( στο μη σχεδιασμένο τετράπλευρο οι διαγώνιοι διχοτομούνται άρα είναι παραλληλόγραμμο )
Έτσι θα είναι . Θέτω: .
Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με λόγο καθέτων πλευρών :
Το ορθογώνιο τρίγωνο έχει λόγο καθέτων πλευρών :
Δηλαδή από : και άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο οπότε το είναι ύψος προς την υποτείνουσα του .
Αφού όμως : , η είναι ομόλογη της συνεπώς .
( στο μη σχεδιασμένο τετράπλευρο οι διαγώνιοι διχοτομούνται άρα είναι παραλληλόγραμμο )
Έτσι θα είναι . Θέτω: .
Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με λόγο καθέτων πλευρών :
Το ορθογώνιο τρίγωνο έχει λόγο καθέτων πλευρών :
Δηλαδή από : και άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο οπότε το είναι ύψος προς την υποτείνουσα του .
Αφού όμως : , η είναι ομόλογη της συνεπώς .
-
- Δημοσιεύσεις: 2753
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Τετράγωνο και καθετότητα
Μπάμπης Στεργίου έγραψε: ↑Τετ Ιούλ 17, 2019 9:48 amΚαλημέρα σε όλους !
Την παρακάτω άσκηση μου έστειλε μόλις ένας συνάδελφος, δεν την έχω κοιτάξει όμως ακόμα(ούτε με αναλυτική γεωμετρία).
ΑΣΚΗΣΗ
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ με κέντρο Ο και σημείο Ε στην προέκταση της ΒΑ(προς το Α).
Η ΕΓ τέμνει την ΑΔ στο Ζ και η ΒΖ τέμνει την ΕΟ στο Η.Να αποδειχθεί ότι η ΑΗ είναι κάθετη στην ΒΖ.
Η τέμνει την κάθετη στην στο στο σημείο
Ισχύει,
Με άρα, μεσοκάθετος της .
Έτσι,λόγω και του εγγράψιμου οι γωνίες είναι ίσες ,συνεπώς εγγράψιμο,άρα
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες