Σταθερό γινόμενο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10957
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Σταθερό γινόμενο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιούλ 20, 2019 9:11 am

Σταθερό  γινόμενο.png
Σταθερό γινόμενο.png (8.24 KiB) Προβλήθηκε 414 φορές
Στο εσωτερικό ισοσκελούς τριγώνου \displaystyle ABC , με βάση BC=a , θεωρούμε μεταβλητό σημείο S , το

οποίο απέχει από το μέσο M της βάσης , όσο απέχει το M από τα ίσα σκέλη . Η κάθετη προς το MS

στο S , τέμνει τις AB,AC στα σημεία P,T αντίστοιχα . Δείξτε ότι το BP \cdot CT είναι σταθερό .



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11549
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σταθερό γινόμενο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιούλ 20, 2019 10:27 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιούλ 20, 2019 9:11 am
Στο εσωτερικό ισοσκελούς τριγώνου \displaystyle ABC , με βάση BC=a , θεωρούμε μεταβλητό σημείο S , το

οποίο απέχει από το μέσο M της βάσης , όσο απέχει το M από τα ίσα σκέλη . Η κάθετη προς το MS

στο S , τέμνει τις AB,AC στα σημεία P,T αντίστοιχα . Δείξτε ότι το BP \cdot CT είναι σταθερό .
O κύκλος κέντρου M και ακτίνας MN=d εφάπτεται (λόγω καθετότητας στην άκρη ακτίνας) στις AB, BT, AC (το τελευταίο λόγω συμμετρίας).

Αν \angle BNM= \theta, \angle NMP=\angle PMS= \phi τότε BP =BN+NP= d\tan \theta + d \tan \phi. Όμοια CT = d\tan \theta + d \tan (90-\phi-\theta) (άμεσο από υπολογισμό της γωνίας \angle SMC και χρήση συμμετρίας). Άρα

BP \cdot CT =  d^2(\tan \theta +  \tan \phi) (\tan \theta + d \tan (90-\phi-\theta) )= d^2(\tan \theta +  \tan \phi) \left (\tan \theta + \dfrac {1-\tan \theta   \tan \phi}{\tan \theta +  \tan \phi} \right )=

= d^2 (\tan ^2 \theta +1) =d^2 \sec ^2 \theta =BM^2 = σταθερό.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Σάβ Ιούλ 20, 2019 11:31 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8519
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σταθερό γινόμενο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιούλ 20, 2019 11:25 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιούλ 20, 2019 9:11 am
Σταθερό γινόμενο.pngΣτο εσωτερικό ισοσκελούς τριγώνου \displaystyle ABC , με βάση BC=a , θεωρούμε μεταβλητό σημείο S , το

οποίο απέχει από το μέσο M της βάσης , όσο απέχει το M από τα ίσα σκέλη . Η κάθετη προς το MS

στο S , τέμνει τις AB,AC στα σημεία P,T αντίστοιχα . Δείξτε ότι το BP \cdot CT είναι σταθερό .

\displaystyle BP \cdot CT = \frac{{{a^2}}}{4} ...... Θα επανέλθω με λεπτομέρειες.

Επεξεργασία Σαβ. Ιουλ 20 2019 4:38 pm: Άρση απόκρυψης. Η λύση μου είναι ίδια με την παρακάτω του Μιχάλη Τσουρακάκη.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1696
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Σταθερό γινόμενο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Ιούλ 20, 2019 4:18 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιούλ 20, 2019 9:11 am
Σταθερό γινόμενο.pngΣτο εσωτερικό ισοσκελούς τριγώνου \displaystyle ABC , με βάση BC=a , θεωρούμε μεταβλητό σημείο S , το

οποίο απέχει από το μέσο M της βάσης , όσο απέχει το M από τα ίσα σκέλη . Η κάθετη προς το MS

στο S , τέμνει τις AB,AC στα σημεία P,T αντίστοιχα . Δείξτε ότι το BP \cdot CT είναι σταθερό .

\displaystyle M είναι το κέντρο του α-παρεγγεγραμμένου κύκλου του \displaystyle \vartriangle APT και \displaystyle x = \angle \frac{{ATP}}{2}


Έτσι, οι συμπληρωματικές της \displaystyle x πράσινες γωνίες είναι ίσες ,συνεπώς

\displaystyle \vartriangle PBM \simeq \vartriangle TMC \Rightarrow \frac{{PB}}{{MC}} = \frac{{BM}}{{TC}} \Rightarrow \boxed{PB \cdot TC = MB \cdot MC = \frac{{{a^2}}}{4}}
σταθερό γινόμενο.png
σταθερό γινόμενο.png (102.5 KiB) Προβλήθηκε 329 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8519
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Σταθερό γινόμενο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιούλ 20, 2019 7:32 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιούλ 20, 2019 9:11 am
Σταθερό γινόμενο.pngΣτο εσωτερικό ισοσκελούς τριγώνου \displaystyle ABC , με βάση BC=a , θεωρούμε μεταβλητό σημείο S , το

οποίο απέχει από το μέσο M της βάσης , όσο απέχει το M από τα ίσα σκέλη . Η κάθετη προς το MS

στο S , τέμνει τις AB,AC στα σημεία P,T αντίστοιχα . Δείξτε ότι το BP \cdot CT είναι σταθερό .
Μία διαφορετική προσέγγιση. Φέρνω TK||BC, οπότε BK=CT.
Σταθερό γινόμενο.Κ.png
Σταθερό γινόμενο.Κ.png (16.78 KiB) Προβλήθηκε 300 φορές
Το PNMS είναι εγγράψιμο και από τη προφανή ισότητα των τριγώνων MKN, MTS, προκύπτει ότι \displaystyle N\widehat MS = K\widehat MT,

άρα και το PKMT είναι εγγράψιμο κι επειδή η AM είναι μεσοκάθετη του KT, η BC θα εφάπτεται του περίκυκλού του.

\displaystyle BK \cdot BP = B{M^2} \Leftrightarrow \boxed{BP \cdot CT = \frac{{{a^2}}}{4}}


Altrian
Δημοσιεύσεις: 197
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Σταθερό γινόμενο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Σάβ Ιούλ 20, 2019 9:13 pm

Παρόμοια με του Γιώργου, την γράφω για τον κόπο.

Φέρνω από τα P,T παράλληλες προς την BC.

\angle PT'M=90+\phi ..and.. \angle PTM=90-\phi\Rightarrow \angle PTM+\angle PT'M=180\Rightarrow PT'MTP' εγγράψιμο.

BP*CT=BP*BT'=BM^{2}=\dfrac{a^{2}}{4}
Συνημμένα
σταθερο γινομενο.png
σταθερο γινομενο.png (33.12 KiB) Προβλήθηκε 281 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες