Μία 60αρα και μία 30αρα
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
Μία 60αρα και μία 30αρα
Η άσκηση είναι του κ.Γακόπουλου
για όποιον θέλει να ασχοληθεί.
Δεν έχω λύση.
(Αν και όσο έκανα το σχήμα στο geogebra είδα ότι έδωσε μια λύση ο Ορέστης Λιγνός στο μαθηματικό εργαστήρι).
Γράφει ότι τον παίδεψε για αυτό και την τοποθέτησα σε αυτόν τον φάκελο.
Δίνεται τρίγωνο με μήκη πλευρών
και γωνία
Προεκτείνουμε τις πλεύρες και προς το έτσι ώστε
Εστω το έκκεντρο και το περίκεντρο του
Οι τέμνονται στο σημείο .
Να αποδειχθεί ότι
Καλό Καλοκαίρι!
Λέξεις Κλειδιά:
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Μία 60αρα και μία 30αρα
Καλησπέρα σε όλους,
Δυστυχώς δεν κατάφερα να βρω καθαρά γεωμετρική λύση παρά μόνο συνδυασμό γεωμετρίας και τριγωνομετρίας. Όμορφη άσκηση πάντως!
Λόγω της σχέσης και θέτοντας παίρνουμε . Με Ν. Συνημιτόνων στο βγάζουμε άμεσα ότι κι έτσι έχουμε και . Λόγω των επόμενων σχέσεων της εκφώνησης, βγάζουμε δηλαδή και άρα .
Προφανώς και σχηματίζοντας το ισόπλευρο τρίγωνο όπως στο σχήμα παίρνουμε . Άρα τελικά τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
Προφανώς η είναι μεσοκάθετη της αφού τα σημεία ισαπέχουν από τα . Άρα
Θα αποδείξουμε ότι άρα θα έχουμε
και θα έχουμε το ζητούμενο.
Από το Ν. Συνημιτόνων στο τρίγωνο παίρνουμε και από τον Ν. των Ημιτόνων στο ίδιο τρίγωνο ότι .
Θα αποδείξουμε επίσης ότι κι έτσι θα έχουμε τη ζητούμενη παραλληλία.
Από το Ν. Ημιτόνων στο παίρνουμε άρα . Άρα τελικά
.
και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Αλέξανδρος
Δυστυχώς δεν κατάφερα να βρω καθαρά γεωμετρική λύση παρά μόνο συνδυασμό γεωμετρίας και τριγωνομετρίας. Όμορφη άσκηση πάντως!
Λόγω της σχέσης και θέτοντας παίρνουμε . Με Ν. Συνημιτόνων στο βγάζουμε άμεσα ότι κι έτσι έχουμε και . Λόγω των επόμενων σχέσεων της εκφώνησης, βγάζουμε δηλαδή και άρα .
Προφανώς και σχηματίζοντας το ισόπλευρο τρίγωνο όπως στο σχήμα παίρνουμε . Άρα τελικά τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
Προφανώς η είναι μεσοκάθετη της αφού τα σημεία ισαπέχουν από τα . Άρα
Θα αποδείξουμε ότι άρα θα έχουμε
και θα έχουμε το ζητούμενο.
Από το Ν. Συνημιτόνων στο τρίγωνο παίρνουμε και από τον Ν. των Ημιτόνων στο ίδιο τρίγωνο ότι .
Θα αποδείξουμε επίσης ότι κι έτσι θα έχουμε τη ζητούμενη παραλληλία.
Από το Ν. Ημιτόνων στο παίρνουμε άρα . Άρα τελικά
.
και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 8 επισκέπτες