Συμμετρία με ευθεία Euler

[george visvikis]

Συμμετρία με ευθεία Euler.png (13.99 KiB) Προβλήθηκε 661 φορές

είναι το ύψος, το ορθόκεντρο, το περίκεντρο και τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα,

οξυγώνιου τριγώνου Υποθέτουμε ότι το τρίγωνο είναι οξυγώνιο και είναι το πρίκεντρό του. Αν

είναι το συμμετρικό του ως προς την ευθεία να δείξετε ότι το είναι σημείο της

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Φέρνουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο με κέντρο και ακτίνα και έστω πως τέμνει την στο .

Αυτός ο κύκλος είναι ίσος με τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου (ίσες ακτίνες), οπότε έχουμε , δηλαδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές, δηλαδή .

Έστω πως η τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του στο . Προφανώς είναι και , οπότε εύκολα προκύπτει ότι .

Όμως είναι γνωστό ότι , άρα τελικά , άρα αφού η είναι μεσοκάθετος του , είναι και του .

Στη μεσοκάθετο του ανήκει όμως το Q ως περίκεντρο του , οπότε το ανήκει στην .