Δυσεξήγητο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10961
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Δυσεξήγητο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Αύγ 08, 2019 8:03 am

Δυσεξήγητο.png
Δυσεξήγητο.png (11.8 KiB) Προβλήθηκε 330 φορές
Με κέντρο το άκρο K της διαμέτρου LK , κύκλου (O) , γράφω μικρότερο κύκλο (K) ,

ο οποίος τέμνει τον μεγάλο στα A,B . Από τυχόν σημείο S του (O) , φέρω την SB , η

οποία τέμνει τον (K) στο P . Η PA τέμνει τον (O) στο T . Δείξτε ότι : LT = \parallel SP .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6795
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Δυσεξήγητο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Αύγ 08, 2019 9:32 am

Δυσεξήγητο.png
Δυσεξήγητο.png (36.96 KiB) Προβλήθηκε 309 φορές

1. Το \vartriangle SAP ισοσκελές

2. \widehat {SPA} = \widehat {SAP} = \widehat {SLT}\,\,(1)

3. \widehat {{a_1}} = \widehat T\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\alpha _3}} = \widehat {{\alpha _4}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\alpha _1}} = \widehat {{\alpha _3}} ( παραπληρώματα ίσων γωνιών ) άρα : \widehat T = \widehat {{\alpha _4}}\,\,\,(2)

Από τις (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2) προκύπτει ότι το τετράπλευρο SPTL είναι παραλληλόγραμμο.

Παρατήρηση

Για το πρώτο ( σαν λήμμα)
Δυσεξήγητο_Λήμμα.png
Δυσεξήγητο_Λήμμα.png (24.72 KiB) Προβλήθηκε 302 φορές
Τα τρίγωνα KAS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KPS έχουν : KA = KP\,\,, την KS κοινή και \widehat {{\xi _1}} = \widehat {{\xi _2}} (

εγγεγραμμένες σε ίσα τόξα) και \widehat \theta  = \widehat \omega  = \widehat \phi . Αναγκαστικά θα έχουν \widehat {AKS} = \widehat {PKS}

οπότε (\Pi ,\Gamma ,\Pi ) είναι ίσα άρα SA = SP


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8523
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Δυσεξήγητο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Αύγ 08, 2019 11:17 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Αύγ 08, 2019 8:03 am
Δυσεξήγητο.pngΜε κέντρο το άκρο K της διαμέτρου LK , κύκλου (O) , γράφω μικρότερο κύκλο (K) ,

ο οποίος τέμνει τον μεγάλο στα A,B . Από τυχόν σημείο S του (O) , φέρω την SB , η

οποία τέμνει τον (K) στο P . Η PA τέμνει τον (O) στο T . Δείξτε ότι : LT = \parallel SP .
Δυσεξήγητο.png
Δυσεξήγητο.png (24.23 KiB) Προβλήθηκε 282 φορές
Η TK τέμνει την BP στο H. Από τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα TABL, TKBL προκύπτει ότι οι πράσινες γωνίες είναι ίσες.

Αλλά, B\widehat KP=2B\widehat AP, οπότε \displaystyle TH \bot BP \Leftrightarrow LT||BP. Ομοίως \displaystyle LS||TP, άρα το TLSP είναι παραλληλόγραμμο και το ζητούμενο έπεται.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1697
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Δυσεξήγητο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Αύγ 08, 2019 6:08 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Αύγ 08, 2019 8:03 am
Δυσεξήγητο.pngΜε κέντρο το άκρο K της διαμέτρου LK , κύκλου (O) , γράφω μικρότερο κύκλο (K) ,

ο οποίος τέμνει τον μεγάλο στα A,B . Από τυχόν σημείο S του (O) , φέρω την SB , η

οποία τέμνει τον (K) στο P . Η PA τέμνει τον (O) στο T . Δείξτε ότι : LT = \parallel SP .

Έστω \displaystyle \left( K \right) \cap TB = E.Οι \displaystyle LA,LB είναι εφαπτόμενες του κύκλου \displaystyle \left( K \right). Λόγω και των εγγράψιμου

\displaystyle TABL οι γωνίες \displaystyle x είναι ίσες όπως και οι \displaystyle y

Έτσι , \displaystyle AE//BP \displaystyle  \Rightarrow TP = TB,άρα η διχοτόμος \displaystyle TK της \displaystyle \angle BTA είναι κάθετη στην \displaystyle AE,συνεπώς \displaystyle AE//TL//PS

Επιπλέον,από το εγγράψιμο \displaystyle LSBA \Rightarrow \angle S + x + y = {180^0} \Rightarrow \angle S + TPS = {180^0} \Rightarrow TP//LS

Άρα \displaystyle TPSL παραλ/μμο ,οπότε \displaystyle SP = //TL
Δυσεξήγητο.png
Δυσεξήγητο.png (41.39 KiB) Προβλήθηκε 244 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: vittasko και 2 επισκέπτες