Το τετράγωνο του λόγου

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6737
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Το τετράγωνο του λόγου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Αύγ 10, 2019 11:34 am

Το τετράγωνο του λόγου.png
Το τετράγωνο του λόγου.png (11.11 KiB) Προβλήθηκε 517 φορές

Ο έγκυκλος κέντρου I, τριγώνου ABC εφάπτεται των πλευρών BC,\,\,CA,\,\,AB στα σημεία D,\,\,E,\,\,F αντίστοιχα.

Η ευθεία EF τέμνει την ευθεία BC στο S και την ευθεία DI στο K.

Αν M το σημείο τομής των ευθειών AK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC δείξετε ότι : {\left( {\dfrac{{BD}}{{BS}}} \right)^2} = \dfrac{{MD}}{{MS}}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1475
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Το τετράγωνο του λόγου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Αύγ 10, 2019 1:04 pm

Doloros έγραψε:
Σάβ Αύγ 10, 2019 11:34 am
Το τετράγωνο του λόγου.png

Ο έγκυκλος κέντρου I, τριγώνου ABC εφάπτεται των πλευρών BC,\,\,CA,\,\,AB στα σημεία D,\,\,E,\,\,F αντίστοιχα.

Η ευθεία EF τέμνει την ευθεία BC στο S και την ευθεία DI στο K.

Αν M το σημείο τομής των ευθειών AK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC δείξετε ότι : {\left( {\dfrac{{BD}}{{BS}}} \right)^2} = \dfrac{{MD}}{{MS}}
Καλημέρα κ. Νίκο ! :)

Είναι γνωστό Λήμμα ότι το M είναι το μέσον της BC.

Επίσης, έστω G το σημείο Gergonne του τριγώνου (το σημείο G είναι το σημείο συντρέχειας των AD,BE,CF). Από το πλήρες AFDE.BC έχω ότι τα S,B,D,C είναι αρμονικά συζυγή.

Από τη σχέση Newton λοιπόν στα παραπάνω σημεία, έχω ότι MB^2=MC^2=MD \cdot MS.

Τώρα, λίγη Άλγεβρα :lol: .

Έστω, SB=x, BD=y, DM=z και MC=MB=y+z.

Τότε, η σχέση Newton λέει ότι (y+z)^2=z(x+y+z) ή ισοδύναμα z(x-y)=y^2, και αφού x \neq y (αν x=y \Rightarrow y=0, άτοπο) είναι z=\dfrac{y^2}{x-y}.

Εμείς θέλουμε να δείξουμε ότι \dfrac{BD^2}{BS^2}=\dfrac{MD}{MS} \Rightarrow \dfrac{y^2}{x^2}=\dfrac{z}{x+y+z}.

Αντικαθιστούμε z=\dfrac{y^2}{x-y} και προκύπτει \dfrac{z}{x+y+z}=\dfrac{\dfrac{y^2}{x-y}}{x+y+\dfrac{y^2}{x-y}}=\dfrac{\dfrac{y^2}{x-y}}{\dfrac{x^2}{x-y}}=\dfrac{y^2}{x^2}, και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 393
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Το τετράγωνο του λόγου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Αύγ 10, 2019 1:27 pm

Doloros έγραψε:
Σάβ Αύγ 10, 2019 11:34 am
Το τετράγωνο του λόγου.png


Ο έγκυκλος κέντρου I, τριγώνου ABC εφάπτεται των πλευρών BC,\,\,CA,\,\,AB στα σημεία D,\,\,E,\,\,F αντίστοιχα.

Η ευθεία EF τέμνει την ευθεία BC στο S και την ευθεία DI στο K.

Αν M το σημείο τομής των ευθειών AK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC δείξετε ότι : {\left( {\dfrac{{BD}}{{BS}}} \right)^2} = \dfrac{{MD}}{{MS}}

Θεωρώ b>c και θέτω BS=x
Από γνωστό λήμμα (*) είναι M μέσο του BC.Έστω t η ημιπερίμετρος του ABC
Από το θεώρημα του Μενελάου στo ABC με διατέμνουσα \overline{SFE} έχουμε \dfrac{SB}{SC}=\dfrac{FB}{EC}\Leftrightarrow \dfrac{x}{x+a}=\dfrac{t-b}{t-c}\Leftrightarrow ..x=\dfrac{a\left ( t-b \right )}{b-c}
Έτσι έχουμε \left ( \dfrac{BD}{BS} \right )^2=\dfrac{MD}{MS}\Leftrightarrow \left (\dfrac{t-b}{a\dfrac{t-b}{b-c}} \right )^2=\dfrac{\dfrac{a}{2}-\left ( t-b \right )}{\dfrac{a}{2}+a\dfrac{t-b}{b-c}}\Leftrightarrow ....\Leftrightarrow t=\dfrac{a+b+c}{2} που ισχύει .

(*)Απόδειξη λήμματος:

Φέρουμε από το K παράλληλη στην BC που τέμνει τις AB,AC στα S,T αντίστοιχα.Αρκεί K μέσον του ST.
Είναι IK\perp ST και IFSK,IKET εγγράψιμα και προκύπτει εύκολα \angle IST=\angle ITS δηλαδή SIT ισοσκελές άρα IK ύψος και διάμεσος....

Βλέπω πως με πρόλαβε ο Ορέστης :)


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6737
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Το τετράγωνο του λόγου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Αύγ 12, 2019 6:00 pm

Doloros έγραψε:
Σάβ Αύγ 10, 2019 11:34 am
Το τετράγωνο του λόγου.png


Ο έγκυκλος κέντρου I, τριγώνου ABC εφάπτεται των πλευρών BC,\,\,CA,\,\,AB στα σημεία D,\,\,E,\,\,F αντίστοιχα.

Η ευθεία EF τέμνει την ευθεία BC στο S και την ευθεία DI στο K.

Αν M το σημείο τομής των ευθειών AK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC δείξετε ότι : {\left( {\dfrac{{BD}}{{BS}}} \right)^2} = \dfrac{{MD}}{{MS}}
Η πολική του A ως προς τον έγκυκλο είναι προφανώς η EF( χορδή των επαφών) που διέρχεται από το S.

Άρα η πολική του S ως προς τον ίδιο κύκλο θα διέρχεται από το A , αλλά κι από το

D γιατί το SD είναι εφαπτόμενο τμήμα , δηλαδή είναι η AD.

Αν η AD, κόψει την EF στο D τότε η δέσμη: A(S,P\backslash F,E) είναι αρμονική και επομένως η τετράδα (S,D\backslash B,C) είναι αρμονική.

Τα M είναι μέσο του BC όπως πολύ σωστά ανέφεραν πιο πάνω οι φερέλπιδες νέοι Ορέστης και Πρόδρομος .
Το τετράγωνο του λόγου_και λύση.png
Το τετράγωνο του λόγου_και λύση.png (27.12 KiB) Προβλήθηκε 414 φορές
Γράφω τώρα ημικύκλιο διαμέτρου BC που η ID το τέμνει στο σημείο Tκαι αφού

η τετράδαA(S,P\backslash F,E) είναι αρμονική το ST είναι εφαπτόμενο τμήμα στο ημικύκλιο

Η TB είναι διχοτόμος του \vartriangle TDS . Από το ορθογώνιο τρίγωνο TSM με ύψος προς την υποτείνουσα TD και λόγω του Θ. διχοτόμου στο \vartriangle TDS έχω:

\boxed{{{\left( {\frac{{BD}}{{BS}}} \right)}^2} = {{\left( {\frac{{TD}}{{TS}}} \right)}^2} = \frac{{T{D^2}}}{{T{S^2}}} = \frac{{MD \cdot DS}}{{MS \cdot DS}} = \frac{{MD}}{{MS}}}


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 393
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Το τετράγωνο του λόγου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Τετ Αύγ 21, 2019 9:50 pm

Doloros έγραψε:
Σάβ Αύγ 10, 2019 11:34 am
Το τετράγωνο του λόγου.png


Ο έγκυκλος κέντρου I, τριγώνου ABC εφάπτεται των πλευρών BC,\,\,CA,\,\,AB στα σημεία D,\,\,E,\,\,F αντίστοιχα.

Η ευθεία EF τέμνει την ευθεία BC στο S και την ευθεία DI στο K.

Αν M το σημείο τομής των ευθειών AK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC δείξετε ότι : {\left( {\dfrac{{BD}}{{BS}}} \right)^2} = \dfrac{{MD}}{{MS}}
Καλησπέρα!

Μία σύντομη λύση:
Η τετράδα (B,C,S,D) είναι αρμονική (εύκολο) και M μέσο του BC ,άρα από Mac Laurin έχω :

\left\{\begin{matrix} & MD\cdot DS=BD\cdot DC & \\ & MS\cdot DS=BS\cdot SC & \end{matrix}\right.\overset{:}{\Rightarrow }\dfrac{MD}{MS}=\dfrac{BD}{BS}\cdot \dfrac{DC}{SC}=\left ( \dfrac{BD}{BS} \right )^2


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες