Γωνία και πλευρά

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10671
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Γωνία και πλευρά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Αύγ 22, 2019 8:27 am

Γωνία  και  πλευρά.png
Γωνία και πλευρά.png (10.13 KiB) Προβλήθηκε 268 φορές
Στο τρίγωνο του σχήματος , υπολογίστε την πλευρά x και την γωνία \theta .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3239
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Γωνία και πλευρά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Πέμ Αύγ 22, 2019 9:26 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Αύγ 22, 2019 8:27 am
Στο τρίγωνο του σχήματος , υπολογίστε την πλευρά x και την γωνία \theta .
Καλημέρα.
shape.png
shape.png (23.3 KiB) Προβλήθηκε 256 φορές
Με CT \bot AS η άσκηση ξεκλειδώνει!


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 349
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Γωνία και πλευρά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Αύγ 22, 2019 9:30 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Αύγ 22, 2019 8:27 am
Γωνία και πλευρά.pngΣτο τρίγωνο του σχήματος , υπολογίστε την πλευρά x και την γωνία \theta .
Καλημέρα!

Θεωρώ σημείο D στην προέκταση της CB ώστε \angle DAB=15^{\circ}.
Έχουμε \angle BDA=30^{\circ}=\angle KAS\Leftrightarrow AS=SD,\angle SBA=15^{\circ}

Από το θεώρημα διχοτόμων έχουμε \dfrac{AD}{BD}=BD+1\Leftrightarrow AD=BD^2+BD\,\,\,(1)

Έστω K η προβολή του B στην AD.Από το πυθαγόρειο θεώρημα έχουμε \dfrac{AD^2}{4}=\left ( BD+1 \right )^2-\dfrac{\left ( BD+1 \right )^2}{4}\overset{(1)}{\Leftrightarrow} BD^2+BD\left ( 1-\sqrt{3} \right )-\sqrt{3} \Leftrightarrow BD=\sqrt{3},AD=3+\sqrt{3}=..=DC

Άρα ADC ισοσκελές ,\vartheta =\dfrac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ}

Βλέπουμε τώρα ότι \overset{\Delta }{ABC}\sim \overset{\Delta }{ASC} κι έτσι \dfrac{x}{2}=\dfrac{3}{x}\Leftrightarrow x=\sqrt{6}



116.PNG
116.PNG (31.09 KiB) Προβλήθηκε 256 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8193
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γωνία και πλευρά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Αύγ 22, 2019 9:57 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Αύγ 22, 2019 8:27 am
Γωνία και πλευρά.pngΣτο τρίγωνο του σχήματος , υπολογίστε την πλευρά x και την γωνία \theta .
Φέρνω το ύψος AD, οπότε AD=BD.
Γωνία και πλευρά.png
Γωνία και πλευρά.png (11.89 KiB) Προβλήθηκε 245 φορές
Με νόμο ημιτόνων στο ABS, \displaystyle \frac{1}{{\sin 15^\circ }} = \frac{{AS}}{{\sin 45^\circ }} \Leftrightarrow AS = \sqrt 3  + 1 \Leftrightarrow SD = \frac{{\sqrt 3  + 1}}{2} \Rightarrow

\displaystyle AD = BD = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2} και \displaystyle DC = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{2}. Με Π. Θ τώρα στο ADC βρίσκω \boxed{x=\sqrt 6}

και \displaystyle \cos \theta  = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{{2\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{4} \Leftrightarrow \boxed{\theta  = 75^\circ }


Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 79
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Γωνία και πλευρά

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Πέμ Αύγ 22, 2019 10:01 am

Χαιρετώ!
Παρόμοια με του κυρίου Γιώργου.
Φέρω το ύψος AD του τριγώνου ABC. Το τρίγωνο ABD είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε AB=\sqrt{2}\cdot \dfrac{a+2}{2}.
Με Θ.Stewart στο τρίγωνο ABC έχω: x^{2}+a+4a+4 =3a^{2}+6\Leftrightarrow x^{2}=2a^{2}-4a+2
Στο τρίγωνο ASD είναι \dfrac{\dfrac{a}{2}+1}{\dfrac{a}{2}}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \dfrac{a+2}{a}=\sqrt{3} \Leftrightarrow a\left ( \sqrt{3} -1\right )=2\Leftrightarrow a=\sqrt{3}+1
Τώρα έχουμε x^{2}=2\left ( 3+2\sqrt{3}+1 \right )-4\sqrt{3}-4+2=...=6\Leftrightarrow x=\sqrt{6}
Τώρα με N.ημιτόνων στο ASC έχω \dfrac{\sin \vartheta }{\sqrt{3}+1}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}}\Leftrightarrow sin\vartheta =\dfrac{\sqrt{3}\left ( \sqrt{3}+1 \right )}{2\sqrt{6}}=\dfrac{3+\sqrt{3}}{2\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow \vartheta =75^{\circ}
[attachment=0]Γωνία και πλευρά.PNG[/attachment]
Συνημμένα
Γωνία και πλευρά.PNG
Γωνία και πλευρά.PNG (31.07 KiB) Προβλήθηκε 180 φορές
τελευταία επεξεργασία από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ σε Πέμ Αύγ 22, 2019 4:51 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8193
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γωνία και πλευρά

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Αύγ 22, 2019 10:08 am

Αλλιώς.
Γωνία και πλευρά.Ι.png
Γωνία και πλευρά.Ι.png (11.06 KiB) Προβλήθηκε 233 φορές
Με νόμο ημιτόνων στο ABS και 2 φορές συνημιτόνων στο ASC βρίσκω διαδοχικά:

\displaystyle AS = \sqrt 3  + 1, x=\sqrt 6, και \displaystyle \cos \theta  = \frac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{4} \Leftrightarrow \theta  = 75^\circ


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 349
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Γωνία και πλευρά

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Αύγ 22, 2019 11:19 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Αύγ 22, 2019 8:27 am
Γωνία και πλευρά.pngΣτο τρίγωνο του σχήματος , υπολογίστε την πλευρά x και την γωνία \theta .
Έστω D σημείο της BC ώστε \angle SAD=15^{\circ}

Έστω SD=a, K η προβολή του D στην AB και το ύψος AL.

Είναι AB=BK+KA=\left ( a+1 \right )\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}\left ( a+1 \right )\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\left ( a+1 \right )\left ( \sqrt{3}+1 \right )\dfrac{\sqrt{2}}{2} και AD=2\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left ( a+1 \right )=\left ( a+1 \right )\sqrt{2}

Από θεώρημα διχοτόμων \left ( a+1 \right )\left ( \sqrt{3}+1 \right )\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\left ( a+1 \right )\sqrt{2}}{a}\Leftrightarrow a=\sqrt{3}-1

Από το εγγράψιμο AKDL είναι BD\left ( BD+DL \right )=BK\cdot AB\Leftrightarrow 3+\sqrt{3}DL=\dfrac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\left ( \sqrt{3}+1 \right )\Leftrightarrow DL=\dfrac{3-\sqrt{3}}{2}
Άρα LC=3-\sqrt{3}-\dfrac{3-\sqrt{3}}{2}=DL\Leftrightarrow \angle DAL=\angle LAC=15^{\circ},\angle C=75^{\circ}
Η συνέχεια όπως πριν.
117.PNG
117.PNG (25.25 KiB) Προβλήθηκε 215 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6600
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γωνία και πλευρά

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Αύγ 22, 2019 12:38 pm

Πλευρά και γωνία.png
Πλευρά και γωνία.png (33.63 KiB) Προβλήθηκε 203 φορές

Προφανώς \widehat {ABC} = 45^\circ . Αν η μεσοκάθετος στο BC κόψει την AS στο K θα είναι :

\left\{ \begin{gathered} 
  KS = 2SM = 1 = BS \hfill \\ 
  \widehat {KBA} = \widehat {KAB} = 15^\circ  \hfill \\ 
  KB = KC = KA \hfill \\ 
  R = \sqrt 3  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \widehat {CKA} = 90^\circ  \hfill \\ 
  x = \sqrt 6  \hfill \\ 
  \widehat \theta  = 30^\circ  + 45^\circ  = 75^\circ  \hfill \\  
\end{gathered}  \right.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες