Σελίδα 1 από 1

Λόγοι παράγουν νέο λόγο

Δημοσιεύτηκε: Τρί Σεπ 24, 2019 1:51 am
από Γιώργος Μήτσιος
Καλημέρα σε όλους! Με αφορμή το πρόσφατο θέμα ΤΟΥΤΟ
Λόγοι παράγουν νέο λόγο.PNG
Λόγοι παράγουν νέο λόγο.PNG (7.17 KiB) Προβλήθηκε 360 φορές
Το ABCD είναι παραλληλόγραμμο με λόγο πλευρών \dfrac{AB}{BC}=m.

Στις πλευρές AB και AD θεωρούμε αντιστοίχως τα Z και E ώστε \dfrac{DE}{BZ}=l. Αν οι BE,DZ τέμνονται στο P τότε

Να εκφραστεί ο λόγος \dfrac{\left ( PCD \right )}{\left ( PBC \right )} ως συνάρτηση των m και l. Ευχαριστώ , Γιώργος.

Re: Λόγοι παράγουν νέο λόγο

Δημοσιεύτηκε: Τρί Σεπ 24, 2019 9:11 am
από george visvikis
Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τρί Σεπ 24, 2019 1:51 am
Καλημέρα σε όλους! Με αφορμή το πρόσφατο θέμα ΤΟΥΤΟ
Λόγοι παράγουν νέο λόγο.PNG
Το ABCD είναι παραλληλόγραμμο με λόγο πλευρών \dfrac{AB}{BC}=m.

Στις πλευρές AB και AD θεωρούμε αντιστοίχως τα Z και E ώστε \dfrac{DE}{BZ}=l. Αν οι BE,DZ τέμνονται στο P τότε

Να εκφραστεί ο λόγος \dfrac{\left ( PCD \right )}{\left ( PBC \right )} ως συνάρτηση των m και l. Ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλημέρα σε όλους!

Θέτω BC=a, BZ=x, οπότε AB=ma, DE=lx. Η DZ τέμνει τη CB στο H.
Λόγοι παράγουν νέο λόγο.png
Λόγοι παράγουν νέο λόγο.png (22.01 KiB) Προβλήθηκε 334 φορές
\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
\dfrac{{(PCD)}}{{(PHC)}} =\dfrac{PD}{PH}= \dfrac{{lx}}{{BH}}\\ 
\\ 
\dfrac{{(PBC)}}{{(PHC)}} = \dfrac{a}{{a + BH}} 
\end{array} \right.\mathop  \Rightarrow \limits^{( \div )} \boxed{\frac{{(PCD)}}{{(PBC)}} = \frac{{lx(a + BH)}}{{aBH}}} (1)

Αλλά, \displaystyle \frac{x}{{BH}} = \frac{{ma}}{{a + BH}} \Leftrightarrow BH = \frac{{ax}}{{ma - x}}\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} \boxed{\frac{{(PCD)}}{{(PBC)}} = ml}

Re: Λόγοι παράγουν νέο λόγο

Δημοσιεύτηκε: Τρί Σεπ 24, 2019 10:52 pm
από Doloros
Ας είναι G\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S τα σημεία τομής της ευθείας CP με τις BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BA.

Έστω ακόμη σημείο T της BC = b για το οποίο : BT = ED.

Αν θέσω ακόμα , BZ = x θα είναι : BT = ED = lx\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB = CD = mb

Από την ομοιότητα των τριγώνων PDC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PBS έχω: \boxed{\frac{{ZP}}{{PD}} = \frac{{ZS}}{{DC}} = \frac{{ZS}}{{mb}}}\,\,\,(1)
λόγοι παράγουν νέο λόγο.png
λόγοι παράγουν νέο λόγο.png (30.2 KiB) Προβλήθηκε 275 φορές
Από το Θ. Μενελάου στο \vartriangle AZD με διατέμνουσα \overline {EPB} έχω και λόγω της (1).

\boxed{\frac{{AB}}{{BZ}} \cdot \frac{{ZP}}{{PD}} \cdot \frac{{DE}}{{EA}} = 1 \Rightarrow \frac{{bm}}{{BZ}} \cdot \frac{{SZ}}{{bm}} \cdot \frac{{lx}}{{b - lx}} = 1 \Rightarrow \frac{{SZ}}{{BZ}} = \frac{{b - lx}}{{lx}} = \frac{{TC}}{{TB}}}\,\,(2)\,\,\,

Που μας εξασφαλίζει : SC//ZT\,\,\,\kappa \alpha \iota \boxed{\,\,BS = \frac{b}{l}}

Μετά απ’ αυτά : \boxed{\frac{{\left( {PDC} \right)}}{{\left( {PBC} \right)}} = \frac{{DG}}{{GB}} = \frac{{DC}}{{BS}} = \frac{{mb}}{{\frac{b}{l}}} = ml}


Παρατήρηση :

Κατά την κίνηση του Z tο P ανήκει σε σταθερή ευθεία

Re: Λόγοι παράγουν νέο λόγο

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Σεπ 26, 2019 3:55 pm
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τρί Σεπ 24, 2019 1:51 am
Καλημέρα σε όλους! Με αφορμή το πρόσφατο θέμα ΤΟΥΤΟ
Λόγοι παράγουν νέο λόγο.PNG
Το ABCD είναι παραλληλόγραμμο με λόγο πλευρών \dfrac{AB}{BC}=m.

Στις πλευρές AB και AD θεωρούμε αντιστοίχως τα Z και E ώστε \dfrac{DE}{BZ}=l. Αν οι BE,DZ τέμνονται στο P τότε

Να εκφραστεί ο λόγος \dfrac{\left ( PCD \right )}{\left ( PBC \right )} ως συνάρτηση των m και l. Ευχαριστώ , Γιώργος.

Ισχύει, \dfrac{ \big(PDC\big) }{ \big(PBC\big) }= \dfrac{DN}{NB} κι έστω EN \cap BC=Q,EC \cap BD=L

Με CEVA στο τρίγωνο EBC \Rightarrow  \dfrac{BQ}{QC}  .  \dfrac{CL}{LE}  .  \dfrac{EP}{PB} =1 \Leftrightarrow \dfrac{BQ}{QC} .  \dfrac{BC}{ED} .  \dfrac{EP}{PB} =1  \Rightarrow \dfrac{BQ}{QC} = \dfrac{ED . PB}{BC . EP}  (1)

Με Μενέλαο στο \triangle ABE και διατέμνουσα ZPD \Rightarrow  \dfrac{AZ}{ZB}  .  \dfrac{BP}{PE}  .  \dfrac{ED}{DA} =1 \Rightarrow \dfrac{BZ}{ZA}=\dfrac{ED . PB}{BC . EP}  (2)

Από Από (1),(2) \Rightarrow  \dfrac{BZ}{ZA}= \dfrac{BQ}{QC} \Rightarrow  \dfrac{BZ}{BA}= \dfrac{BQ}{BC}   \Rightarrow AB . BQ=BZ . BC \Rightarrow  BQ= \dfrac{BZ . BC}{AB}

Τώρα,  \dfrac{DN}{NB} = \dfrac{ED}{BQ} = \dfrac{ED . AB}{BZ . BC} =ml
Λόγοι παράγουν νέο λόγο.png
Λόγοι παράγουν νέο λόγο.png (19.96 KiB) Προβλήθηκε 236 φορές

Re: Λόγοι παράγουν νέο λόγο

Δημοσιεύτηκε: Δευ Σεπ 30, 2019 8:10 pm
από Γιώργος Μήτσιος
Καλησπέρα. Γιώργο, Νίκο και Μιχάλη σας ευχαριστώ! Μία ακόμη προσέγγιση
Λόγοι παράγουν νέο λόγο ΙΙ.PNG
Λόγοι παράγουν νέο λόγο ΙΙ.PNG (7.76 KiB) Προβλήθηκε 156 φορές
Φέρνω τα ύψη PN,PM των εν..λόγω τριγώνων.Όπως στην (#8) ανάρτηση του δημοφιλούς θέματος Η εκ του Nagel.. βρίσκουμε

\boxed{PN\cdot BZ=PM\cdot DE}. Απ' αυτή παίρνουμε \dfrac{PN}{PM}=\dfrac{DE}{BZ}=l.

Συνεπώς έχουμε \dfrac{\left ( PCD \right )}{\left ( PBC \right )}=\dfrac{DC\cdot PN}{BC\cdot PM}=\dfrac{AB}{BC}\cdot \dfrac{DE}{BZ}=ml. Φιλικά Γιώργος.