Σελίδα 1 από 1

Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Οκτ 06, 2019 1:20 am
από Γιώργος Μήτσιος
Καλή Κυριακή.
Τετράγωνο, κύκλος και ορθ. τρίγωνο.PNG
Τετράγωνο, κύκλος και ορθ. τρίγωνο.PNG (10.78 KiB) Προβλήθηκε 529 φορές
Το ABCD είναι τετράγωνο και το E \in AD με AE=3ED. Η CE τέμνει την BD στο Z .

Ο κύκλος που ορίζουν τα A,E,Z τέμνει την BD και στο H ενώ την AB και στο F.

Να δείξετε ότι:

Ι) Το τρίγωνο που σχηματίζεται με πλευρές τα τμήματα DZ,BH και ZH είναι ορθογώνιο


ΙΙ)Τα σημεία C,H,F είναι συνευθειακά

ΙΙΙ) Αν οι AB,EH τέμνονται στο S τότε ED=BS. Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Οκτ 06, 2019 11:26 am
από george visvikis
Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Οκτ 06, 2019 1:20 am
Καλή Κυριακή.
Τετράγωνο, κύκλος και ορθ. τρίγωνο.PNG
Το ABCD είναι τετράγωνο και το E \in AD με AE=3ED. Η CE τέμνει την BD στο Z .

Ο κύκλος που ορίζουν τα A,E,Z τέμνει την BD και στο H ενώ την AB και στο F.

Να δείξετε ότι:

Ι) Το τρίγωνο που σχηματίζεται με πλευρές τα τμήματα DZ,BH και ZH είναι ορθογώνιο


ΙΙ)Τα σημεία C,H,F είναι συνευθειακά

ΙΙΙ) Αν οι AB,EH τέμνονται στο S τότε ED=BS. Σας ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλημέρα!
Τετράγωνο, κύκλος, κλπ.png
Τετράγωνο, κύκλος, κλπ.png (20.75 KiB) Προβλήθηκε 495 φορές
Αφήνω προς το παρόν το σχήμα και θα δώσω τη λύση το απογευματάκι, αν δεν απαντηθεί μέχρι τότε
με τον τρόπο που έχω υπόψη μου.

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης.

Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Οκτ 06, 2019 12:25 pm
από Μιχάλης Τσουρακάκης
Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Οκτ 06, 2019 1:20 am
Καλή Κυριακή.
Τετράγωνο, κύκλος και ορθ. τρίγωνο.PNG
Το ABCD είναι τετράγωνο και το E \in AD με AE=3ED. Η CE τέμνει την BD στο Z .

Ο κύκλος που ορίζουν τα A,E,Z τέμνει την BD και στο H ενώ την AB και στο F.

Να δείξετε ότι:

Ι) Το τρίγωνο που σχηματίζεται με πλευρές τα τμήματα DZ,BH και ZH είναι ορθογώνιο


ΙΙ)Τα σημεία C,H,F είναι συνευθειακά

ΙΙΙ) Αν οι AB,EH τέμνονται στο S τότε ED=BS. Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

2).Είναι  \angle CHD= \angle DHA= \omega άρα \angle ZED= \omega και DEHC εγγράψιμο ,άρα CH \bot EH και \angle CEH=45^0

Επιπλέον, FH \bot EH αφού EF διάμετρος του (A,E,Z) ,επομένως C,H,F συνευθειακά .

3).Ακόμη, CHBS είναι εγγράψιμο άρα \angle BCS=x.Αλλά tanx= \dfrac{DE}{DC}= \dfrac{1}{4}   \Rightarrow  \dfrac{SB}{BC}= \dfrac{1}{4}  άρα, DE=BS= \dfrac{a}{4}

Έστω ZN,HP \bot AD

1).\dfrac{DZ}{ZB}= \dfrac{DE}{CB}= \dfrac{1}{4}   \Rightarrow DZ= \dfrac{ZB}{4}= \dfrac{DB}{5} \Rightarrow DN= \dfrac{a}{5}   \Rightarrow NE= \dfrac{a}{4}- \dfrac{a}{5}= \dfrac{a}{20}

Είναι EP=PA= \dfrac{3a}{8}  \Rightarrow PN= \dfrac{17a}{40} και  \dfrac{DZ}{ZH} = \dfrac{8}{17}

\dfrac{BH}{HZ}= \dfrac{AP}{PN}= \dfrac{15}{17} κι εύκολα  \dfrac{BH^2}{HZ^2}+ \dfrac{DZ^2}{HZ^2} =1 \Rightarrow BH^2+DZ^2=HZ^2
Τετράγωνο -κύκλος-ορθογώνιο.png
Τετράγωνο -κύκλος-ορθογώνιο.png (145.32 KiB) Προβλήθηκε 483 φορές

Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Οκτ 06, 2019 5:36 pm
από george visvikis
Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Οκτ 06, 2019 1:20 am
Καλή Κυριακή.
Τετράγωνο, κύκλος και ορθ. τρίγωνο.PNG
Το ABCD είναι τετράγωνο και το E \in AD με AE=3ED. Η CE τέμνει την BD στο Z .

Ο κύκλος που ορίζουν τα A,E,Z τέμνει την BD και στο H ενώ την AB και στο F.

Να δείξετε ότι:

Ι) Το τρίγωνο που σχηματίζεται με πλευρές τα τμήματα DZ,BH και ZH είναι ορθογώνιο


ΙΙ)Τα σημεία C,H,F είναι συνευθειακά

ΙΙΙ) Αν οι AB,EH τέμνονται στο S τότε ED=BS. Σας ευχαριστώ , Γιώργος.
Έστω 4x η πλευρά του τετραγώνου και DZ=c, ZH=a, HB=b. Είναι, \boxed{a+b+c=4x\sqrt 2}} (1)
Τετράγωνο, κύκλος, κλπ.png
Τετράγωνο, κύκλος, κλπ.png (20.75 KiB) Προβλήθηκε 435 φορές
I) \displaystyle \frac{{DE}}{{CB}} = \frac{{DZ}}{{ZB}} \Leftrightarrow \frac{1}{4} = \frac{c}{{a + b}} \Leftrightarrow \boxed{a+b=4c} (2) και \displaystyle DE \cdot DA = DZ \cdot DH \Leftrightarrow \boxed{4x^2=c(c+a)} (3)

Από τη λύση του συστήματος των τριών εξισώσεων, βρίσκω \boxed{(a,b,c) = \left( {\frac{{17x\sqrt 2 }}{{10}},\frac{{3x\sqrt 2 }}{2},\frac{{4x\sqrt 2 }}{5}} \right)}

\displaystyle {b^2} + {c^2} = \frac{{18{x^2}}}{4} + \frac{{32{x^2}}}{{25}} = \frac{{578{x^2}}}{{100}} = {\left( {\frac{{17x\sqrt 2 }}{{10}}} \right)^2} \Rightarrow \boxed{a^2=b^2+c^2}

II) EC=x\sqrt{17}. Αλλά, \displaystyle \frac{{EZ}}{{ZC}} = \frac{{DE}}{{DC}} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow ZC = 4EZ \Leftrightarrow EC = 5EZ \Leftrightarrow EZ = \frac{{x\sqrt {17} }}{5}

\displaystyle EZ \cdot ZC = 4E{Z^2} = \frac{{4 \cdot 17{x^2}}}{{25}} = \frac{{17x\sqrt 2 }}{{10}} \cdot \frac{{4x\sqrt 2 }}{5} = ac, άρα το DEHC είναι εγγράψιμο. Αλλά,

και το EHFA είναι εγγράψιμο, οπότε τα σημεία C,H,F είναι συνευθειακά (CH, HF κάθετες στην ίδια ευθεία).

III) Το CES είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε τα τρίγωνα CDE, CBS είναι ίσα και \boxed{ED=BS}

Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Οκτ 06, 2019 6:58 pm
από Altrian
Καλησπέρα σε όλους,

Εχω την εντύπωση ότι η σχέση AE=3ED δεν χρειάζεται. Ολα όσα ζητά η άσκηση ισχύουν ανεξάρτητα της θέσης του E. Αφήνω και ένα σχήμα όπου προκύπτουν εύκολα τα ζητούμενα με τον σχηματισμό του ορθογωνίου τριγώνου. Το θέτω προς διαβούλευση με επιφύλαξη.

Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Οκτ 06, 2019 7:24 pm
από george visvikis
Altrian έγραψε:
Κυρ Οκτ 06, 2019 6:58 pm
Καλησπέρα σε όλους,

Εχω την εντύπωση ότι η σχέση AE=3ED δεν χρειάζεται. Ολα όσα ζητά η άσκηση ισχύουν ανεξάρτητα της θέσης του E. Αφήνω και ένα σχήμα όπου προκύπτουν εύκολα τα ζητούμενα με τον σχηματισμό του ορθογωνίου τριγώνου. Το θέτω προς διαβούλευση με επιφύλαξη.
Έχεις δίκιο Αλέξανδρε :coolspeak: Και η άσκηση γίνεται πολύ πιο ωραία!

Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο

Δημοσιεύτηκε: Δευ Οκτ 07, 2019 12:29 am
από Γιώργος Μήτσιος
Καλημέρα σε όλους! Γιώργο και Μιχάλη σας ευχαριστώ για τις πλήρεις λύσεις!!
Για τα ζητούμενα ΙΙ και ΙΙΙ (είχα τον λόγο μου να ) γνωρίζω ότι ισχύουν γενικότερα. Το πρώτο δεν σκέφτηκα να το ελέγξω..
Ο Αλέξανδρος έχει βεβαίως .. :10sta10: δίκιο! :clap2:

Άλλωστε μπορώ να φέρω..αντίρρηση σ'αυτόν που.. :D ..έλκει την καταγωγή του από την Άρτα και μάλιστα από την γειτονιά μου ;
Ας δούμε λοιπόν μια προέκταση-γενίκευση του θέματος που είχα σκοπό να θέσω για συνέχεια
Τετράγωνο, κύκλος ..ΙΙ PNG.PNG
Τετράγωνο, κύκλος ..ΙΙ PNG.PNG (7.38 KiB) Προβλήθηκε 367 φορές
Θεωρούμε ότι ισχύει AE=k\cdot AD με 0<k<1 και τα λοιπά ως έχουν στην αρχική διατύπωση.Αν AF=m \cdot AB

Να εκφραστεί το m ως συνάρτηση του k

Εφαρμογή: Βρείτε την κλίση της EF αν θέσουμε k=2-\sqrt{2}. Ευχαριστώ και πάλι, Γιώργος.

Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο

Δημοσιεύτηκε: Δευ Οκτ 07, 2019 12:40 pm
από george visvikis
Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Δευ Οκτ 07, 2019 12:29 am

Θεωρούμε ότι ισχύει AE=k\cdot AD με 0<k<1 και τα λοιπά ως έχουν στην αρχική διατύπωση.Αν AF=m \cdot AB

Να εκφραστεί το m ως συνάρτηση του k

Εφαρμογή: Βρείτε την κλίση της EF αν θέσουμε k=2-\sqrt{2}. Ευχαριστώ και πάλι, Γιώργος.
Αν a είναι η πλευρά του τετραγώνου και θεωρήσουμε γνωστά τα προηγούμενα ευρήματα (αλλιώς αποδεικνύονται), τότε DE=BS=(1-k)a, FB=(1-m)a.
Τετράγωνο, κύκλος, κλπ.β.png
Τετράγωνο, κύκλος, κλπ.β.png (25.07 KiB) Προβλήθηκε 334 φορές
Το CEFS είναι χαρταετός, άρα \displaystyle EF = FS \Leftrightarrow a\sqrt {{k^2} + {m^2}}  = a(2 - m - k) \Leftrightarrow \boxed{m = \frac{{2(1 - k)}}{{2 - k}}}

Για k=2-\sqrt{2}, η κλίση της EF είναι \displaystyle  - \tan \theta  =  - \frac{k}{m} = \frac{{{k^2} - 2k}}{{2(1 - k)}} = \frac{{2(1 - \sqrt 2 )}}{{2(\sqrt 2  - 1)}} =  - 1

Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο

Δημοσιεύτηκε: Δευ Οκτ 07, 2019 6:53 pm
από george visvikis
Ας δούμε την αρχική άσκηση για τυχαίο τμήμα DE=x και έστω a η πλευρά του τετραγώνου.
Τετράγωνο, κύκλος, κλπ.γ.png
Τετράγωνο, κύκλος, κλπ.γ.png (24.01 KiB) Προβλήθηκε 299 φορές
\displaystyle  \bullet Τα τρίγωνα ADH, CDH είναι ίσα και \displaystyle C\widehat HD = D\widehat HA = D\widehat EC, οπότε το DEHC είναι

εγγράψιμο, άρα C\widehat HE=90^\circ κι επειδή E\widehat HF=90^\circ, τα C, H, F είναι συνευθειακά.

\displaystyle  \bullet Το CHBS είναι επίσης εγγράψιμο, άρα το CES είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε τα τρίγωνα

CDE, CBS είναι ίσα και \boxed{ED=BS=x}

\displaystyle  \bullet Από τον τύπο της διχοτόμου, \displaystyle D{Z^2} = ax\left( {1 - \frac{{{a^2} + {x^2}}}{{{{(a + x)}^2}}}} \right) \Leftrightarrow \boxed{DZ = \frac{{ax\sqrt 2 }}{{a + x}}}

\displaystyle H{A^2} = H{S^2} = \frac{{C{E^2}}}{2} = \frac{{{a^2} + {x^2}}}{2} και με θεώρημα \displaystyle {\rm{Stewart}} στο AHS και τέμνουσα HB, είναι:

\displaystyle \frac{{{a^2} + {x^2}}}{2}x + \frac{{{a^2} + {x^2}}}{2}a = H{B^2}(a + x) + ax(a + x) \Leftrightarrow \boxed{HB = \frac{{(a - x)\sqrt 2 }}{2}}

\displaystyle ZH = a\sqrt 2  - (DZ + HB) \Leftrightarrow \boxed{ZH = \frac{{({a^2} + {x^2})\sqrt 2 }}{{2(a + x)}}} και εύκολα τώρα, \boxed{ZH^2=DZ^2+HB^2}

Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο

Δημοσιεύτηκε: Δευ Οκτ 07, 2019 7:35 pm
από Altrian
Για το i)

Φέρνω BF κάθετη στην HB. Τότε \bigtriangleup DEC=\bigtriangleup CBF\Rightarrow BF=DZ, CF=CZ. Αρα HF=HZ. Ετσι το \bigtriangleup HBF είναι ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές τις DZ=BF, ZH=HF, HB

Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο

Δημοσιεύτηκε: Δευ Οκτ 07, 2019 7:53 pm
από george visvikis
Altrian έγραψε:
Δευ Οκτ 07, 2019 7:35 pm
Για το i)

Φέρνω BF κάθετη στην HB. Τότε \bigtriangleup DEC=\bigtriangleup CBF\Rightarrow BF=DZ, CF=CZ. Αρα HF=HZ. Ετσι το \bigtriangleup HBF είναι ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές τις DZ=BF, ZH=HF, HB
Ωραίο Αλέξανδρε :clap2: :clap2:

Re: Τετράγωνο, κύκλος και ορθογώνιο τρίγωνο

Δημοσιεύτηκε: Τετ Οκτ 16, 2019 1:16 am
από Γιώργος Μήτσιος
Χαιρετώ τους φίλους! Μετά και τις νέες εξαιρετικές προσθήκες από τους Γιώργο και Αλέξανδρο
ας δούμε τον σκοπό για τον οποίο ζήτησα τη σχέση μεταξύ των k και m (δείτε την ανάρτηση #8 του παρόντος)

Έχουμε AF=ma...AE=ka οπότε BF=(1-m)a...DE=(1-k)a ενώ   \boxed{m = \frac{{2(1 - k)}}{{2 - k}}}.

Βρίσκουμε AE\cdot AF=kma^{2}=\dfrac{2k\left ( 1-k \right )}{2-k}a^{2} και BF=\left ( 1-m \right )a=..=\dfrac{k}{2-k}a\Rightarrow DE\cdot BF=\dfrac{k\left ( 1-k \right )}{2-k}a^{2}.

Συνεπώς προκύπτει η σχέση AE\cdot AF=2DE\cdot BF (\bigstar)

Αφετηρία για την δημιουργία του παρόντος ήταν το παλαιό - υπέροχο- θέμα ΤΟΥΤΟ.

Εκεί , αντίστροφα δίνεται η σχέση (\bigstar) με ζητούμενο την ομοκυκλικότητα των πέντε σημείων!
Φιλικά , Γιώργος