Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος

KARKAR · #1

: Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος.png (6.08 KiB) Προβλήθηκε 577 φορές

Στο τετράγωνο ABCD

, το

είναι μέσο του

, το

είναι μέσο του

και

το

είναι μέσο του

. Δείξτε ότι το $L (\equiv BD\cap MN)$ είναι μέσο του

.

Υπολογίστε και τον λόγο $\dfrac{DL}{LB}$ .

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 07, 2019 7:14 pm
Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος.pngΣτο τετράγωνο , το είναι μέσο του , το είναι μέσο του και

το είναι μέσο του . Δείξτε ότι το $L (\equiv BD\cap MN)$ είναι μέσο του .

Υπολογίστε και τον λόγο $\dfrac{DL}{LB}$ .

Καλησπέρα!

Έστω

το μέσον του

.Είναι $EN//AD//MO\Rightarrow EN//MO,EN=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{BC}{2}=MO$
Από τα παραπάνω το EMON

είναι παραλληλόγραμμο με μέσο

άρα

$\dfrac{LD}{LB}=\dfrac{\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{2}-\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{a\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{3}{5}$

: 144.PNG (9.42 KiB) Προβλήθηκε 571 φορές

#3

: τέσσερα μέσα κι ένας λόγος.png (12.68 KiB) Προβλήθηκε 547 φορές

Ας είναι $BD = AC = 8k\,\,\,$ και

το μέσο του

. Θα είναι:

$NO = OT = TM = 2k\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OL = k$ . Αφού $LO//MT\,\,$ και το

μέσο του

θα είναι :

α) Και το

μέσο του

β) $\boxed{\frac{{DL}}{{LB}} = \frac{{3k}}{{5k}} = \frac{3}{5}}$

Παρατήρηση:

Δείτε ακόμη ότι η είναι κάθετη στην .

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλό βράδυ!

: Τέσσερα μέσα και λόγος.PNG (6.94 KiB) Προβλήθηκε 545 φορές

Αν

μέσον του

τότε $NI=\parallel AB/2=\parallel DM$ οπότε το DMIN

παραλληλόγραμμο , άρα ML= LN

.

Ακόμη IB=BD/4..DL=LI=DI/2=3BD/8

και

. Προκύπτει $\dfrac{DL}{LB}=\dfrac{3}{5}$ .
Φιλικά Γιώργος.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 07, 2019 7:14 pm
Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος.pngΣτο τετράγωνο , το είναι μέσο του , το είναι μέσο του και

το είναι μέσο του . Δείξτε ότι το $L (\equiv BD\cap MN)$ είναι μέσο του .

Υπολογίστε και τον λόγο $\dfrac{DL}{LB}$ .

Η παράλληλη από το

στην

τέμνει την

στο

και $OK=2OM=//AD \Rightarrow DKOA$ παραλ/μμο άρα AP=PK

Ισχύει $\dfrac{NL}{LM} = \dfrac{AP}{PK}=1 \Rightarrow NL=LM$ και με $LO=x \Rightarrow \dfrac{DL}{LB}= \dfrac{3}{5}$

: τέσσερα μέσα κι ένας λόγος.png (18.91 KiB) Προβλήθηκε 529 φορές

STOPJOHN · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 07, 2019 7:14 pm
Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος.pngΣτο τετράγωνο , το είναι μέσο του , το είναι μέσο του και

το είναι μέσο του . Δείξτε ότι το $L (\equiv BD\cap MN)$ είναι μέσο του .

Υπολογίστε και τον λόγο $\dfrac{DL}{LB}$ .

Ειναι $NO=AN,\hat{NOM}=\hat{NAT},\hat{MNO}=\hat{ANT}$ Συνεπώς τα τρίγωνα NOM,ATN

είναι ίσα ,άρα $AT=\dfrac{a}{2},$ . Στο τρίγωνο ADO

με τέμνουσα TNL

Από το θεώρημα του Μενελάου είναι $\dfrac{OL}{DL}=\dfrac{AT}{AT+a}\Rightarrow \dfrac{OL}{DL}=\dfrac{1}{3},(1), OL+DL=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}, (1),(2)\Rightarrow OL=\dfrac{a\sqrt{2}}{8},DL=\dfrac{3a\sqrt{2}}{8},LB=\dfrac{5a\sqrt{2}}{8}, NL^{2}=OL^{2}+ON^{2}\Rightarrow NL=\dfrac{a\sqrt{5}}{4\sqrt{2}},(3)$

Από το νόμο συνημητόνων στο τρίγωνο $OMN,LM=\dfrac{a\sqrt{5}}{4\sqrt{2}},NL=LM,\dfrac{DL}{LB}=\dfrac{3}{5}$

Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος

Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος

Re: Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος

Re: Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος

Re: Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος

Re: Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος

Re: Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος

Μέλη σε σύνδεση