Σελίδα 1 από 1

Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος

Δημοσιεύτηκε: Δευ Οκτ 07, 2019 7:14 pm
από KARKAR
Τέσσερα  μέσα κι  ένας λόγος.png
Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος.png (6.08 KiB) Προβλήθηκε 332 φορές
Στο τετράγωνο ABCD , το O είναι μέσο του BD , το M είναι μέσο του CD και

το N είναι μέσο του AO . Δείξτε ότι το L (\equiv BD\cap MN) είναι μέσο του MN .

Υπολογίστε και τον λόγο \dfrac{DL}{LB} .

Re: Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος

Δημοσιεύτηκε: Δευ Οκτ 07, 2019 7:29 pm
από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
KARKAR έγραψε:
Δευ Οκτ 07, 2019 7:14 pm
Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος.pngΣτο τετράγωνο ABCD , το O είναι μέσο του BD , το M είναι μέσο του CD και

το N είναι μέσο του AO . Δείξτε ότι το L (\equiv BD\cap MN) είναι μέσο του MN .

Υπολογίστε και τον λόγο \dfrac{DL}{LB} .
Καλησπέρα!

Έστω E το μέσον του DO.Είναι EN//AD//MO\Rightarrow EN//MO,EN=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{BC}{2}=MO
Από τα παραπάνω το EMON είναι παραλληλόγραμμο με μέσο L άρα LN=LM,EL=LO=DO/4

\dfrac{LD}{LB}=\dfrac{\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{2}-\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{a\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{3}{5}
144.PNG
144.PNG (9.42 KiB) Προβλήθηκε 326 φορές

Re: Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος

Δημοσιεύτηκε: Δευ Οκτ 07, 2019 10:02 pm
από Doloros
τέσσερα μέσα κι ένας λόγος.png
τέσσερα μέσα κι ένας λόγος.png (12.68 KiB) Προβλήθηκε 302 φορές
Ας είναι BD = AC = 8k\,\,\, και T το μέσο του OC. Θα είναι:

NO = OT = TM = 2k\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OL = k. Αφού LO//MT\,\, και το O μέσο του NT θα είναι :

α) Και το L μέσο του NM

β) \boxed{\frac{{DL}}{{LB}} = \frac{{3k}}{{5k}} = \frac{3}{5}}

Παρατήρηση:

Δείτε ακόμη ότι η MN είναι κάθετη στην NB.

Re: Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος

Δημοσιεύτηκε: Δευ Οκτ 07, 2019 10:08 pm
από Γιώργος Μήτσιος
Καλό βράδυ!
Τέσσερα μέσα και λόγος.PNG
Τέσσερα μέσα και λόγος.PNG (6.94 KiB) Προβλήθηκε 300 φορές
Αν I μέσον του OB τότε NI=\parallel AB/2=\parallel DM οπότε το DMIN παραλληλόγραμμο , άρα ML= LN.

Ακόμη IB=BD/4..DL=LI=DI/2=3BD/8 και LB=LI+IB=5BD/8 . Προκύπτει \dfrac{DL}{LB}=\dfrac{3}{5}.
Φιλικά Γιώργος.

Re: Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος

Δημοσιεύτηκε: Δευ Οκτ 07, 2019 11:08 pm
από Μιχάλης Τσουρακάκης
KARKAR έγραψε:
Δευ Οκτ 07, 2019 7:14 pm
Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος.pngΣτο τετράγωνο ABCD , το O είναι μέσο του BD , το M είναι μέσο του CD και

το N είναι μέσο του AO . Δείξτε ότι το L (\equiv BD\cap MN) είναι μέσο του MN .

Υπολογίστε και τον λόγο \dfrac{DL}{LB} .
Η παράλληλη από το  A στην  MN τέμνει την  OM στο  K και  OK=2OM=//AD \Rightarrow DKOA παραλ/μμο άρα AP=PK

Ισχύει \dfrac{NL}{LM} = \dfrac{AP}{PK}=1 \Rightarrow NL=LM και με LO=x \Rightarrow  \dfrac{DL}{LB}= \dfrac{3}{5}
τέσσερα μέσα κι ένας λόγος.png
τέσσερα μέσα κι ένας λόγος.png (18.91 KiB) Προβλήθηκε 284 φορές

Re: Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος

Δημοσιεύτηκε: Τετ Οκτ 09, 2019 8:26 pm
από STOPJOHN
KARKAR έγραψε:
Δευ Οκτ 07, 2019 7:14 pm
Τέσσερα μέσα κι ένας λόγος.pngΣτο τετράγωνο ABCD , το O είναι μέσο του BD , το M είναι μέσο του CD και

το N είναι μέσο του AO . Δείξτε ότι το L (\equiv BD\cap MN) είναι μέσο του MN .

Υπολογίστε και τον λόγο \dfrac{DL}{LB} .
Ειναι NO=AN,\hat{NOM}=\hat{NAT},\hat{MNO}=\hat{ANT} Συνεπώς τα τρίγωνα NOM,ATN

είναι ίσα ,άρα AT=\dfrac{a}{2},. Στο τρίγωνο ADO με τέμνουσα TNL

Από το θεώρημα του Μενελάου είναι \dfrac{OL}{DL}=\dfrac{AT}{AT+a}\Rightarrow \dfrac{OL}{DL}=\dfrac{1}{3},(1), OL+DL=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}, (1),(2)\Rightarrow OL=\dfrac{a\sqrt{2}}{8},DL=\dfrac{3a\sqrt{2}}{8},LB=\dfrac{5a\sqrt{2}}{8}, NL^{2}=OL^{2}+ON^{2}\Rightarrow NL=\dfrac{a\sqrt{5}}{4\sqrt{2}},(3)

Από το νόμο συνημητόνων στο τρίγωνο OMN,LM=\dfrac{a\sqrt{5}}{4\sqrt{2}},NL=LM,\dfrac{DL}{LB}=\dfrac{3}{5}