Τρίγωνο και κύκλος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1325
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Τρίγωνο και κύκλος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Οκτ 13, 2019 1:15 am

Καλημέρα σε όλους!
Από το Φ στο π.PNG
Από το Φ στο π.PNG (8.09 KiB) Προβλήθηκε 353 φορές
Στο τρίγωνο ABC είναι AB=AC...\widehat{A}=72^{0} και M το μέσον της BC. Θεωρούμε το E  \in AB ώστε \widehat{BCE}=18^{0}.

Η CE τέμνει την AM στο H. Αν BC=5\Phi  cm ( \Phi , ο χρυσός αριθμός ) τότε

Να υπολογιστεί το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου που ορίζουν τα σημεία B,E,H. Σας ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9796
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίγωνο και κύκλος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Οκτ 13, 2019 6:29 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Οκτ 13, 2019 1:15 am
Καλημέρα σε όλους!
Από το Φ στο π.PNG
Στο τρίγωνο ABC είναι AB=AC...\widehat{A}=72^{0} και M το μέσον της BC. Θεωρούμε το E  \in AB ώστε \widehat{BCE}=18^{0}.

Η CE τέμνει την AM στο H. Αν BC=5\Phi  cm ( \Phi , ο χρυσός αριθμός ) τότε

Να υπολογιστεί το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου που ορίζουν τα σημεία B,E,H. Σας ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλησπέρα!

Είναι a=5\Phi, AB=AC=CE=b. Έστω N το κοινό σημείο της BC με τον κύκλο. Οι γωνίες που φαίνονται στο σχήμα προκύπτουν άμεσα από την εκφώνηση, άρα BN είναι η διάμετρος του κύκλου και \displaystyle {E_k} = {\left( {\frac{{BN}}{2}} \right)^2}\pi
Τρίγωνο και κύκλος.png
Τρίγωνο και κύκλος.png (19.34 KiB) Προβλήθηκε 306 φορές
\displaystyle \sin 36^\circ  = \sqrt {1 - \frac{{{\Phi ^2}}}{4}}  = \sqrt {1 - \frac{{\Phi  + 1}}{4}}  = \frac{{\sqrt {3 - \Phi } }}{2} \Leftrightarrow \frac{{5\Phi }}{{2b}} = \frac{{\sqrt {3 - \Phi } }}{2} \Leftrightarrow b = \frac{{5\Phi }}{{\sqrt {3 - \Phi } }}

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
\dfrac{{CE}}{{CH}} = \Phi  \Leftrightarrow \dfrac{b}{{CH}} = \Phi \\ 
\\ 
bCH = CH \cdot CE = CN \cdot 5\Phi  
\end{array} \right. \Rightarrow CN = \dfrac{{{b^2}}}{{5{\Phi ^2}}} = \dfrac{5}{{3 - \Phi }} \Leftrightarrow BN = 5\Phi  - \dfrac{5}{{3 - \Phi }}

Αλλά, \displaystyle \Phi  = \frac{{\sqrt 5  + 1}}{2} \Rightarrow BN = 2\sqrt 5 , άρα \boxed{E_k=5\pi}


Χρησιμοποιήθηκαν οι σχέσεις: \displaystyle \cos 36^\circ  = \frac{{\sqrt 5  + 1}}{4} = \frac{\Phi }{2} και \displaystyle {\Phi ^2} = \Phi  + 1


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1937
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Τρίγωνο και κύκλος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Οκτ 15, 2019 6:46 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Οκτ 13, 2019 1:15 am
Καλημέρα σε όλους!
Από το Φ στο π.PNG
Στο τρίγωνο ABC είναι AB=AC...\widehat{A}=72^{0} και M το μέσον της BC. Θεωρούμε το E  \in AB ώστε \widehat{BCE}=18^{0}.

Η CE τέμνει την AM στο H. Αν BC=5\Phi  cm ( \Phi , ο χρυσός αριθμός ) τότε

Να υπολογιστεί το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου που ορίζουν τα σημεία B,E,H. Σας ευχαριστώ , Γιώργος.
Εστω ότι AB=AC=b,HC=AH=AE=x,

Το εμβαδόν του κυκλικου δίσκου είναι E_{k}=\pi .(\dfrac{BZ}{2})^{2},R=BK=KZ,


Από μετρικές σχέσεις στον κύκλο x.b=ZS.5\phi \Leftrightarrow x.b=(5\phi -2R).5\phi \Leftrightarrow R=\dfrac{5\phi }{2}-\dfrac{b^{2}}{10\phi ^{2}},(2)





Τότε απο τα όμοια τρίγωνα AEC,EAH,\dfrac{x}{EH}=\dfrac{b}{x}\Leftrightarrow x=\dfrac{b}{\phi },(1),

Στο ορθογώνιο τρίγωνο MBH,x^{2}=(\dfrac{b-x}{2})^{2}+(\dfrac{5\phi }{2})^{2},BE=HN=b-x

και λογω της

(1),\dfrac{b^{2}}{\phi ^{2}}=\dfrac{25\phi +25}{\phi +2},(2),

 (1),(2)\Rightarrow R=\dfrac{5\phi }{2}-\dfrac{5\phi +5}{2\phi +2}\Rightarrow R=\sqrt{5}, E_{k}=5\pi
Συνημμένα
Τρίγωνο και κύκλος.png
Τρίγωνο και κύκλος.png (52.96 KiB) Προβλήθηκε 248 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1325
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Τρίγωνο και κύκλος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Οκτ 18, 2019 11:17 pm

Καλό βράδυ. Γιώργο και Γιάννη σας ευχαριστώ για τις ξεχωριστές λύσεις!
Ακόμη μία με τη βοήθεια και του σχήματος.
Από το Φ στο π..ΙΙ PNG.PNG
Από το Φ στο π..ΙΙ PNG.PNG (10.51 KiB) Προβλήθηκε 203 φορές
Είναι \widehat{B}=\widehat{C}=54^{0} και \widehat{BZE}=2\cdot 18^{0}=36^{0} άρα \widehat{BEZ}=90^{0} δηλ BZ διάμετρος.

Έχουμε cos18^{0}=\dfrac{BM}{BH}\Rightarrow BH=\dfrac{a}{2cos18^{0}} και cos18^{0}=\dfrac{BH}{BZ}\Rightarrow BZ=\dfrac{BH}{cos18^{0}}=\dfrac{a}{2cos^{2}18^{0}}=\dfrac{a}{1+cos36^{0}}

επομένως BZ=\dfrac{2a}{2+\Phi } ενώ a=5\Phi cm. Τελικά E_{k}=\pi BZ^{2}/4=..=5\pi  cm^{2}.Φιλικά Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης