Σελίδα 1 από 1

Γινόμενο χορδών

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Οκτ 13, 2019 8:20 pm
από KARKAR
Γινόμενο  χορδών.png
Γινόμενο χορδών.png (14.55 KiB) Προβλήθηκε 298 φορές
Σ'έναν κύκλο είναι σχεδιασμένες οι χορδές : AB=4 , AC=6 , AD=6 .

Υπολογίστε το γινόμενο : BC \cdot BD

Re: Γινόμενο χορδών

Δημοσιεύτηκε: Δευ Οκτ 14, 2019 12:18 am
από Μιχάλης Τσουρακάκης
KARKAR έγραψε:
Κυρ Οκτ 13, 2019 8:20 pm
Γινόμενο χορδών.pngΣ'έναν κύκλο είναι σχεδιασμένες οι χορδές : AB=4 , AC=6 , AD=6 .

Υπολογίστε το γινόμενο : BC \cdot BD

Έστω BC=x,BD=y

Ο κύκλος (A,6) τέμνει την DB στο L.Επειδή \angle CAD= \angle CBD=2 \theta , θα είναι \angle BCL= \theta και BL=BC=x

Έτσι xy=2 . 10=20
Γινόμενο χορδών.png
Γινόμενο χορδών.png (42.76 KiB) Προβλήθηκε 271 φορές

Re: Γινόμενο χορδών

Δημοσιεύτηκε: Δευ Οκτ 14, 2019 8:55 am
από george visvikis
KARKAR έγραψε:
Κυρ Οκτ 13, 2019 8:20 pm
Γινόμενο χορδών.pngΣ'έναν κύκλο είναι σχεδιασμένες οι χορδές : AB=4 , AC=6 , AD=6 .

Υπολογίστε το γινόμενο : BC \cdot BD
Έστω BC=x, BD=y, CD=k. Από τα θεωρήματα Πτολεμαίου είναι:

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
4k + 6x = 6y \Leftrightarrow k = \frac{3}{2}(y - x)\\ 
\\ 
\dfrac{6}{y} = \dfrac{{24 + kx}}{{4x + 6k}} 
\end{array} \right. \Rightarrow 24y + \dfrac{3}{2}(y - x)xy = 24x + 54(y-x)

\displaystyle  \bullet Αν x\ne y, τότε \boxed{xy=20}

\displaystyle  \bullet Αν x= y, τότε CD=k=0, που είναι άτοπο.

Re: Γινόμενο χορδών

Δημοσιεύτηκε: Τρί Οκτ 15, 2019 1:19 am
από Doloros
Ας είναι S το κοινό σημείο των AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD . Θέτω BS = m\,\,,\,\,BC = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD = y.

\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} ως εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο.

Αλλά \displaystyle \widehat S=\dfrac{\overset{\frown}{AD}-\overset{\frown}{BC}}{2}=\dfrac{\overset{\frown}{AC}-\overset{\frown}{BC}}{2}=\dfrac{\overset{\frown}{AB}}{2}=\widehat {{a_3}}

Συνεπώς : \widehat {{S_{}}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} και άρα :
Γινόμενο χορδών_oritzin.png
Γινόμενο χορδών_oritzin.png (25.95 KiB) Προβλήθηκε 179 φορές
\displaystyle \left\{ \begin{gathered} 
  \vartriangle ABC \approx \vartriangle ACS\,\,\kappa \alpha \iota  \hfill \\ 
  \vartriangle ABC \approx \vartriangle DBS \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AC}}{{AS}}\,\,\kappa \alpha \iota  \hfill \\ 
  \frac{{AB}}{{DB}} = \frac{{BC}}{{BS}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{4}{6} = \frac{6}{{m + 4}}\,\,\kappa \alpha \iota  \hfill \\ 
  \frac{4}{y} = \frac{x}{m} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  m = 5\,\,\kappa \alpha \iota  \hfill \\ 
  xy = 20 \hfill \\  
\end{gathered}  \right.