Ισόπλευρα και μέσα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10957
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ισόπλευρα και μέσα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Οκτ 14, 2019 8:56 pm

Ισόπλευρα  και  μέσα.png
Ισόπλευρα και μέσα.png (12.57 KiB) Προβλήθηκε 341 φορές
Στην πλευρά AB ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , θεωρούμε τυχόν σημείο S . Με βάση

την BS και εκτός του τριγώνου σχεδιάζουμε το επίσης ισόπλευρο τρίγωνο BST .

Ονομάζω M , N τα μέσα των BC , BT αντίστοιχα και με βάση την MN σχεδιάζω

τρίτο ισόπλευρο LMN , με το σημείο L προς το μέρος της κορυφής A .

Δείξτε ότι το L είναι το μέσο του τμήματος AS .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3961
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Ισόπλευρα και μέσα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Οκτ 14, 2019 9:58 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Οκτ 14, 2019 8:56 pm
Ισόπλευρα και μέσα.pngΣτην πλευρά AB ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , θεωρούμε τυχόν σημείο S . Με βάση

την BS και εκτός του τριγώνου σχεδιάζουμε το επίσης ισόπλευρο τρίγωνο BST .

Ονομάζω M , N τα μέσα των BC , BT αντίστοιχα και με βάση την MN σχεδιάζω

τρίτο ισόπλευρο LMN , με το σημείο L προς το μέρος της κορυφής A .

Δείξτε ότι το L είναι το μέσο του τμήματος AS .
Χωρίς λόγια
1.png
1.png (12.93 KiB) Προβλήθηκε 316 φορές
Μου θύμισες Θανάση την πρώτη μου ανάρτηση https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 431#p75431 :)


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1696
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισόπλευρα και μέσα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Οκτ 14, 2019 10:22 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Οκτ 14, 2019 8:56 pm
Ισόπλευρα και μέσα.pngΣτην πλευρά AB ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , θεωρούμε τυχόν σημείο S . Με βάση

την BS και εκτός του τριγώνου σχεδιάζουμε το επίσης ισόπλευρο τρίγωνο BST .

Ονομάζω M , N τα μέσα των BC , BT αντίστοιχα και με βάση την MN σχεδιάζω

τρίτο ισόπλευρο LMN , με το σημείο L προς το μέρος της κορυφής A .

Δείξτε ότι το L είναι το μέσο του τμήματος AS .

Ο κύκλος (N,L,M) τέμνει την NS στο E κι επειδή BE διάμετρος,θα είναι

EM \bot BC \Rightarrow A,E,M συνευθειακά και EL \bot AB.Τώρα, AL=AF= \dfrac{AS}{2}
Ισόπλευρα και μέσα.png
Ισόπλευρα και μέσα.png (99.27 KiB) Προβλήθηκε 302 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1109
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ισόπλευρα και μέσα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Οκτ 14, 2019 11:13 pm

Καλό βράδυ σε όλους! Μια λογιστική λύση
Ισόπλευρα και μέσα.PNG
Ισόπλευρα και μέσα.PNG (9.13 KiB) Προβλήθηκε 278 φορές
Αν L το μέσον του AS αρκεί να δείξουμε ότι LM=LN=MN Έστω BM=1 (μονάδα μέτρησης) και BS=k. Τότε έχουμε:

Στο τρίγωνο LAM είναι AM=\sqrt{3}..AL=1-\dfrac{k}{2} και \widehat{LAM}=30^{0}.

Στο BMN είναι BM=1..BN=k/2 και \widehat{MBN}=120^{0} .

Τέλος στο LSN είναι LS=1-\dfrac{k}{2}..SN=\dfrac{k\sqrt{3}}{2} και \widehat{LSN}=150^{0}.

Ο Νόμος Συνημιτόνων μας δίνει και στα τρία LM^{2}=MN^{2}=LN^{2}=\dfrac{k^{2}}{4}+\dfrac{k}{2}+1 δηλ. το ζητούμενο.Φιλικά , Γιώργος.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2693
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ισόπλευρα και μέσα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Οκτ 15, 2019 1:07 am

B(-1,0),C(1,0),A(0,\sqrt{3}),S(x,y)
κλπ


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 1828
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ισόπλευρα και μέσα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Οκτ 15, 2019 5:10 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Οκτ 14, 2019 8:56 pm
Ισόπλευρα και μέσα.pngΣτην πλευρά AB ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , θεωρούμε τυχόν σημείο S . Με βάση

την BS και εκτός του τριγώνου σχεδιάζουμε το επίσης ισόπλευρο τρίγωνο BST .

Ονομάζω M , N τα μέσα των BC , BT αντίστοιχα και με βάση την MN σχεδιάζω

τρίτο ισόπλευρο LMN , με το σημείο L προς το μέρος της κορυφής A .

Δείξτε ότι το L είναι το μέσο του τμήματος AS .


Εστω BC=a,SB=b,NM=d, τότε στο τρίγωνο BMN,\hat{NBM}=120^{0},NM^{2}=d^{2}=\dfrac{a^{2}+b^{2}+ab}{4},(1), Από το Π.Θ στο τρίγωνο NSB,NS^{2}=\dfrac{3b^{2}}{4},(2), AS^{2}=(a-b)^{2},(3),

Στο τρίγωνο

ANB,\hat{NBA}=60^{0},AN^{2}=\dfrac{b^{2}+4a^{2}-2ab}{4},(4),

 (1),(2),(3),(4)\Rightarrow AN^{2}+NS{}^{2}=2NL^{2}+\dfrac{AS^{2}}{2}

Οπότε η NL είναι διάμεσος του τριγώνου ASN
Συνημμένα
Ισόπλευρα και μέσα.png
Ισόπλευρα και μέσα.png (45.03 KiB) Προβλήθηκε 199 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 424
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ισόπλευρα και μέσα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Νοέμ 04, 2019 12:10 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Οκτ 14, 2019 8:56 pm
Ισόπλευρα και μέσα.pngΣτην πλευρά AB ισοπλεύρου τριγώνου \displaystyle ABC , θεωρούμε τυχόν σημείο S . Με βάση

την BS και εκτός του τριγώνου σχεδιάζουμε το επίσης ισόπλευρο τρίγωνο BST .

Ονομάζω M , N τα μέσα των BC , BT αντίστοιχα και με βάση την MN σχεδιάζω

τρίτο ισόπλευρο LMN , με το σημείο L προς το μέρος της κορυφής A .

Δείξτε ότι το L είναι το μέσο του τμήματος AS .
Θεωρούμε P την στροφή διανύσματος κατά 60^{\circ} .Αρκεί P \left (\overrightarrow{LN } \right )=\overrightarrow{LM}

Είναι P\left ( \overrightarrow{LN} \right )=P\left ( \overrightarrow{LB}+\overrightarrow{BN }\right )=P\left ( \overrightarrow{SB}+\dfrac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{SB} \right ) \right )+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{ST}=\dfrac{1}{2}\left (\overrightarrow{ST}+ P\left ( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{SB} \right ) \right )=...=\dfrac{1}{2}\left ( \overrightarrow{ST} +\overrightarrow{TB}+\overrightarrow{AC}\right )=\dfrac{1}{2}\left ( \overrightarrow{SB}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \right )=\overrightarrow{LB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{LM}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες