Ισόπλευρα και μέσα

KARKAR · #1

: Ισόπλευρα και μέσα.png (12.57 KiB) Προβλήθηκε 865 φορές

Στην πλευρά

ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , θεωρούμε τυχόν σημείο

. Με βάση

την

και εκτός του τριγώνου σχεδιάζουμε το επίσης ισόπλευρο τρίγωνο BST

.

Ονομάζω M , N

τα μέσα των BC , BT

αντίστοιχα και με βάση την

σχεδιάζω

τρίτο ισόπλευρο LMN

, με το σημείο

προς το μέρος της κορυφής

.

Δείξτε ότι το

είναι το μέσο του τμήματος

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 14, 2019 8:56 pm
Ισόπλευρα και μέσα.pngΣτην πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , θεωρούμε τυχόν σημείο . Με βάση

την και εκτός του τριγώνου σχεδιάζουμε το επίσης ισόπλευρο τρίγωνο .

Ονομάζω τα μέσα των αντίστοιχα και με βάση την σχεδιάζω

τρίτο ισόπλευρο , με το σημείο προς το μέρος της κορυφής .

Δείξτε ότι το είναι το μέσο του τμήματος .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Μου θύμισες Θανάση την πρώτη μου ανάρτηση https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 431#p75431

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 14, 2019 8:56 pm
Ισόπλευρα και μέσα.pngΣτην πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , θεωρούμε τυχόν σημείο . Με βάση

την και εκτός του τριγώνου σχεδιάζουμε το επίσης ισόπλευρο τρίγωνο .

Ονομάζω τα μέσα των αντίστοιχα και με βάση την σχεδιάζω

τρίτο ισόπλευρο , με το σημείο προς το μέρος της κορυφής .

Δείξτε ότι το είναι το μέσο του τμήματος .

Ο κύκλος

τέμνει την

στο

κι επειδή

διάμετρος,θα είναι

$EM \bot BC \Rightarrow A,E,M$ συνευθειακά και $EL \bot AB$ .Τώρα, $AL=AF= \dfrac{AS}{2}$

: Ισόπλευρα και μέσα.png (99.27 KiB) Προβλήθηκε 826 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλό βράδυ σε όλους! Μια λογιστική λύση

: Ισόπλευρα και μέσα.PNG (9.13 KiB) Προβλήθηκε 802 φορές

Αν

το μέσον του

αρκεί να δείξουμε ότι LM=LN=MN

Έστω

(μονάδα μέτρησης) και BS=k

. Τότε έχουμε:

Στο τρίγωνο LAM

είναι $AM=\sqrt{3}..AL=1-\dfrac{k}{2}$ και $\widehat{LAM}=30^{0}$ .

Στο BMN

είναι

και $\widehat{MBN}=120^{0}$ .

Τέλος στο LSN

είναι $LS=1-\dfrac{k}{2}..SN=\dfrac{k\sqrt{3}}{2}$ και $\widehat{LSN}=150^{0}$ .

Ο Νόμος Συνημιτόνων μας δίνει και στα τρία $LM^{2}=MN^{2}=LN^{2}=\dfrac{k^{2}}{4}+\dfrac{k}{2}+1$ δηλ. το ζητούμενο.Φιλικά , Γιώργος.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

$B(-1,0),C(1,0),A(0,\sqrt{3}),S(x,y)$
κλπ

STOPJOHN · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 14, 2019 8:56 pm
Ισόπλευρα και μέσα.pngΣτην πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , θεωρούμε τυχόν σημείο . Με βάση

την και εκτός του τριγώνου σχεδιάζουμε το επίσης ισόπλευρο τρίγωνο .

Ονομάζω τα μέσα των αντίστοιχα και με βάση την σχεδιάζω

τρίτο ισόπλευρο , με το σημείο προς το μέρος της κορυφής .

Δείξτε ότι το είναι το μέσο του τμήματος .

Εστω

τότε στο τρίγωνο $BMN,\hat{NBM}=120^{0},NM^{2}=d^{2}=\dfrac{a^{2}+b^{2}+ab}{4},(1)$ , Από το Π.Θ στο τρίγωνο $NSB,NS^{2}=\dfrac{3b^{2}}{4},(2), AS^{2}=(a-b)^{2},(3),$

Στο τρίγωνο

$ANB,\hat{NBA}=60^{0},AN^{2}=\dfrac{b^{2}+4a^{2}-2ab}{4},(4), (1),(2),(3),(4)\Rightarrow AN^{2}+NS{}^{2}=2NL^{2}+\dfrac{AS^{2}}{2}$

Οπότε η

είναι διάμεσος του τριγώνου ASN

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #7

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 14, 2019 8:56 pm
Ισόπλευρα και μέσα.pngΣτην πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου $\displaystyle ABC$ , θεωρούμε τυχόν σημείο . Με βάση

την και εκτός του τριγώνου σχεδιάζουμε το επίσης ισόπλευρο τρίγωνο .

Ονομάζω τα μέσα των αντίστοιχα και με βάση την σχεδιάζω

τρίτο ισόπλευρο , με το σημείο προς το μέρος της κορυφής .

Δείξτε ότι το είναι το μέσο του τμήματος .

Θεωρούμε

την στροφή διανύσματος κατά $60^{\circ}$ .Αρκεί $P \left (\overrightarrow{LN } \right )=\overrightarrow{LM}$

Είναι $P\left ( \overrightarrow{LN} \right )=P\left ( \overrightarrow{LB}+\overrightarrow{BN }\right )=P\left ( \overrightarrow{SB}+\dfrac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{SB} \right ) \right )+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{ST}=\dfrac{1}{2}\left (\overrightarrow{ST}+ P\left ( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{SB} \right ) \right )=...=\dfrac{1}{2}\left ( \overrightarrow{ST} +\overrightarrow{TB}+\overrightarrow{AC}\right )=\dfrac{1}{2}\left ( \overrightarrow{SB}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \right )=\overrightarrow{LB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{LM}$

Ισόπλευρα και μέσα

Ισόπλευρα και μέσα

Re: Ισόπλευρα και μέσα

Re: Ισόπλευρα και μέσα

Re: Ισόπλευρα και μέσα

Re: Ισόπλευρα και μέσα

Re: Ισόπλευρα και μέσα

Re: Ισόπλευρα και μέσα

Μέλη σε σύνδεση