Τρισεφαπτόμενοι κύκλοι

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10878
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τρισεφαπτόμενοι κύκλοι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Οκτ 21, 2019 7:44 pm

Τρισεφαπτόμενοι  κύκλοι.png
Τρισεφαπτόμενοι κύκλοι.png (11.84 KiB) Προβλήθηκε 169 φορές
Στην πλευρά BC=a , ενός τετραγώνου ABCD , να βρείτε τη θέση σημείου S , ώστε

στο τραπέζιο ABSD να είναι δυνατή η εγγραφή δύο κύκλων (O) και (K) , οι οποίοι

να εφάπτονται των AB,AD,DS και AB,BC,DS αντίστοιχα αλλά και μεταξύ τους .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6741
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τρισεφαπτόμενοι κύκλοι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Οκτ 22, 2019 10:38 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Οκτ 21, 2019 7:44 pm
Τρισεφαπτόμενοι κύκλοι.pngΣτην πλευρά BC=a , ενός τετραγώνου ABCD , να βρείτε τη θέση σημείου S , ώστε

στο τραπέζιο ABSD να είναι δυνατή η εγγραφή δύο κύκλων (O) και (K) , οι οποίοι

να εφάπτονται των AB,AD,DS και AB,BC,DS αντίστοιχα αλλά και μεταξύ τους .
Ας είναι E\,\,\kappa \alpha \iota \,\,F τα σημεία επαφής του μεγάλου και του μικρού κύκλου με την AB, ενώ P το σημείο επαφής του μεγάλου κύκλου με την DS.

Θέτω : EF = m\,,\,\,OE = R\,,\,\,KF = r\,\, άρα m = 2\sqrt {Rr} \,\, \Rightarrow \boxed{AB = a = {{\left( {\sqrt R  + \sqrt r } \right)}^2}}\,\,(1)

Ας είναι ακόμα T το σημείο τομής των AB\,,\,\,DS και θέτω: BT = s



\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{KF}}{{OE}} = \frac{{TF}}{{TE}} \hfill \\ 
  PT = ET \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{r}{R} = \frac{{s + r}}{{s + a - R}} \hfill \\ 
  PT = ET \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  s = \frac{{r(a - 2R)}}{{R - r}} \hfill \\ 
  DT - DP = AT - AE \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  s = \frac{{r(a - 2R)}}{{R - r}} \hfill \\ 
  \sqrt {{{(s + a)}^2} + {a^2}}  - \left( {a - R} \right) = s + a - R \hfill \\  
\end{gathered}  \right.
Δηλαδή: \left\{ \begin{gathered} 
  s = \frac{{r(a - 2R)}}{{R - r}}\,\,\,(2) \hfill \\ 
  {(s + a)^2} + {a^2} = {\left( {2a - 2R + s} \right)^2}\,\,(3) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.
Τρισεφαπτόμενοι Κύκλοι.png
Τρισεφαπτόμενοι Κύκλοι.png (21.1 KiB) Προβλήθηκε 106 φορές
Από τις σχέσεις (1)\,\,,(2)\,\,,(3) βρίσκω το r ως έκφραση του R

( π.χ. για R = 3 έχω, r = 1,575477168)

Κατασκευάζω το τετράγωνο , γράφω το μεγάλο κύκλο που έχει κέντρο πάνω στην

AC και γνωστή ακτίνα .

Από το D φέρνω την εφαπτομένη ευθεία στο κύκλο αυτό που τέμνει την BC στο ζητούμενο σημείο S.

Τρισεφαπτόμενοι Κύκλοι_1.png
Τρισεφαπτόμενοι Κύκλοι_1.png (23.71 KiB) Προβλήθηκε 86 φορές
Παρατήρηση

Επειδή \widehat {{p_{}}} = 45^\circ  - \widehat {{k_{}}} και \tan (45^\circ  - k) = \dfrac{{1 - \tan k}}{{1 + \tan k}} μπορούμε να δείξουμε ότι

\boxed{s = \frac{{2Rr}}{{a - 2R}}} που από την (1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(2) καταλήγουμε στο σύστημα:

\left\{ \begin{gathered} 
  a = {\left( {\sqrt R  + \sqrt r } \right)^2} \hfill \\ 
  2{R^2} + {a^2} + 2Rr - 4aR = 0 \hfill \\  
\end{gathered}  \right.
και να λύσουμε ως προς r


πράγματι

Αν θέσω : \sqrt R  = k\,\,,\,\,\sqrt r  = t\,\,\kappa \alpha \iota \,\,t = kx\,\,\,k,t,x > 0 το σύστημα δίδει την εξίσωση

{\left( {x + 1} \right)^4} - 4{(x + 1)^2} + 2({x^2} + 1) = 0 που δίδει ακριβώς μια θετική ρίζα {x_0} και θα είναι

\boxed{r = Rx_0^2}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: dimplak και 2 επισκέπτες