Καθετότητες και ισότητες

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 732
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Καθετότητες και ισότητες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Οκτ 27, 2019 9:54 am

153.PNG
153.PNG (39.25 KiB) Προβλήθηκε 252 φορές
Στο εξωτερικό τριγώνου ABC και με πλευρές τις AB,AC θεωρούμε τετράγωνα ABDE,ACTF.
Με πλευρά την DF θεωρούμε τετράγωνο FDHG(στο ημιεπίπεδο που ορίζει η DF και δεν ανήκει το A).

α) Να δείξετε ότι τα EG,ET είναι ίσα και κάθετα.
β) Αν N,M μέσα των BC,EF και P\equiv GM\cap AN να δείξετε ότι τα PD,PT είναι ίσα και κάθετα.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 309
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Καθετότητες και ισότητες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Κυρ Οκτ 27, 2019 12:56 pm

α)Θεωρούμε τις στροφές \partial_{1}=F_{90^{+}},\partial _{2}=E_{90^{+}}.
Η σύνθεσή τους,\Theta =\partial_{1}\circ \partial_{2} είναι στροφή κατά γωνία 180 και προφανώς στέλνει το T στο D.
Άρα (επειδή είναι στροφή 180 μοιρών) θα στέλνει και το D στο T.
Όμως \partial_{1}(D)=G και συνεπως αναγκαστικά
\partial_{2}(G)=T.
β)Με ομοιοθεσία κέντρου A και λόγου 1/2 αρκεί
O_{1}N,O_{2}N κάθετες με O_{1},O_{2} τα κέντρα των ABDE,ACTF.
Όμως το O_{1}O_{2}N προκύπτει αν πάρουμε τα μέσα των τμημάτων που ενώνουν τις αντίστοιχες κορφές των ομοίων τριγώνων DBA,ACT δηλαδή είναι και αυτό όμοιο με αυτά...(γνωστή πρόταση)


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 732
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Καθετότητες και ισότητες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Οκτ 27, 2019 1:15 pm

min## έγραψε:
Κυρ Οκτ 27, 2019 12:56 pm
α)Θεωρούμε τις στροφές \partial_{1}=F_{90^{+}},\partial _{2}=E_{90^{+}}.
Η σύνθεσή τους,\Theta =\partial_{1}\circ \partial_{2} είναι στροφή κατά γωνία 180 και προφανώς στέλνει το T στο D.
Άρα (επειδή είναι στροφή 180 μοιρών) θα στέλνει και το D στο T.
Όμως \partial_{1}(D)=G και συνεπως αναγκαστικά
\partial_{2}(G)=T.
β)Με ομοιοθεσία κέντρου A και λόγου 1/2 αρκεί
O_{1}N,O_{2}N κάθετες με O_{1},O_{2} τα κέντρα των ABDE,ACTF.
Όμως το O_{1}O_{2}N προκύπτει αν πάρουμε τα μέσα των τμημάτων που ενώνουν τις αντίστοιχες κορφές των ομοίων τριγώνων DBA,ACT δηλαδή είναι και αυτό όμοιο με αυτά...(γνωστή πρόταση)
Καλησπέρα,
Για το α) συμφωνώ.
Για το β) δεν γνωρίζουμε ότι η ομοιοθεσία στέλνει το P στο N (εκτός αν δεν βλέπω κάτι προφανές :? )


Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 803
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Καθετότητες και ισότητες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Κυρ Οκτ 27, 2019 1:32 pm

Μια άλλη λύση για το (α):

Θα χρησιμοποιήσουμε στροφή διανύσματος P γωνίας 90^o:

Αρκεί να δείξουμε ότι P(\vec{ET})=\vec{EG}

\displaystyle{P(\vec{ET})=P(\vec{ED}+\vec{DF}+\vec{FT})=P(\vec{ED})+P(\vec{DF})+P(\vec{FT})=P(\vec{ED})+P(\vec{DF})-P(\vec{TF})=\vec{EA}+\vec{DH}-\vec{TC}=\vec{EA}+\vec{FG}+\vec{AF}=\vec{EG}}

Υ.Γ Και το (β) μπορεί να λυθεί με στροφή διανύσματος, μπορεί να βάλω αργότερα την λύση.


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
min##
Δημοσιεύσεις: 309
Εγγραφή: Τρί Απρ 18, 2017 3:40 pm

Re: Καθετότητες και ισότητες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από min## » Κυρ Οκτ 27, 2019 1:33 pm

Για κάποιο λόγο το θεώρησα δεδομένο..go figure :?
Αν P' το συμμετρικό του A ως προς το N μπορείς εύκολα να δεις την ισότητα των AEP',EDF (είναι AP',EF κάθετες και ίσες και AE,DE κάθετες και ίσες.
Έτσι EP',DF κάθετες και ίσες δηλαδή EP',FG παραλληλες και ίσες κτλ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης