Συνθήκη με βαρύκεντρο

#1

: Συνθήκη με βαρύκεντρο.png (11.23 KiB) Προβλήθηκε 563 φορές

είναι το ύψος και

η διχοτόμος τριγώνου ABC.

Αν το βαρύκεντρο

του τριγώνου

ABC

είναι σημείο του τμήματος DE,

να υπολογίσετε το

συναρτήσει των a, c.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 29, 2019 6:37 pm
Συνθήκη με βαρύκεντρο.png
είναι το ύψος και η διχοτόμος τριγώνου Αν το βαρύκεντρο του τριγώνου

είναι σημείο του τμήματος να υπολογίσετε το συναρτήσει των

Θ.διχοτόμου : $\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{c}{a}$ ,λόγω βαρύκεντρου είναι $\dfrac{GM}{GA}=\dfrac{1}{2}$ και
$\dfrac{DM}{DC}=\dfrac{b\cos \angle C}{b\cos\angle C-\dfrac{a}{2}}\overset{\cos\angle C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab} }{=}=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{b^2-c^2}$

Από θ.Μενελάου στο AMC

διατέμνουσας $\overline{DGE}$ έχω :

$\dfrac{AE}{EC}\cdot \dfrac{DC}{DM}\cdot \dfrac{GM}{GA}=1\Leftrightarrow \dfrac{c}{a}\cdot \dfrac{a^2+b^2-c^2}{b^2-c^2}\cdot \dfrac{1}{2}=1\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow b=\sqrt{\dfrac{a^2c+2ac^2-c^3}{2a-c}}$

#3

Πολύ ωραία Πρόδρομε

Ένα επιπλέον ερώτημα: Αν το είναι εσωτερικό σημείο του να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει ο λόγος $\dfrac{c}{a}.$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 30, 2019 7:11 pm

Ένα επιπλέον ερώτημα: Αν το είναι εσωτερικό σημείο του να βρείτε τις τιμές που μπορεί να πάρει ο λόγος $\dfrac{c}{a}.$

Από την τριγωνική ανισότητα είναι:

$b>a-c\Leftrightarrow b^2>a^2+c^2-2ac\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow a^2-3ac+c^2<0$
το παραπάνω τριώνυμο έχει ρίζες τις $x_1=c\left ( \phi -1 \right ),x_2=c\left ( \phi +1 \right )$ , $\phi=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$ .Άρα πρέπει $a\in \left ( x_1,x_2 \right )\Leftrightarrow \dfrac{1}{\phi -1}>\dfrac{c}{a}>\dfrac{1}{\phi +1}\overset{\dfrac{1}{\phi -1}=\phi }{\Leftrightarrow} \dfrac{1}{\phi +1}<\dfrac{c}{a}<\phi$

Όμως $D\in BC\Rightarrow \angle B<90^{\circ}\Rightarrow b^2<a^2+c^2\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow c<a$
Άρα τελικά $\dfrac{c}{a}\in \left ( \dfrac{1}{\phi +1} ,1\right )\,\,\acute{\eta }\,\,\,\dfrac{c}{a}\in \left ( \dfrac{3-\sqrt{5}}{2},1 \right )$

Συνθήκη με βαρύκεντρο

Συνθήκη με βαρύκεντρο

Re: Συνθήκη με βαρύκεντρο

Re: Συνθήκη με βαρύκεντρο

Re: Συνθήκη με βαρύκεντρο

Μέλη σε σύνδεση