Μετρικές σχέσεις επ' ευθείας

sakis1963 · #1

: GEOMETRIA238=FB3712.jpg (42.74 KiB) Προβλήθηκε 788 φορές

Εστω ορθογώνιο τραπέζιο $ABCD, \hat{A}=\hat{D}=90^o, AB>CD$ .

Ο περίκυκλος ABC

τέμνει την

στο

.

Ο κύκλος (P, PC)

τέμνει την μεσοπαράλληλο του τραπεζίου

, στο

και την

στο

.

Αν η

συναντά την

στο

, δείξτε ότι $QR=2\cdot MN$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

sakis1963 έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 01, 2019 9:49 pm
GEOMETRIA238=FB3712.jpg
Εστω ορθογώνιο τραπέζιο $ABCD, \hat{A}=\hat{D}=90^o, AB>CD$ .

Ο περίκυκλος τέμνει την στο .

Ο κύκλος τέμνει την μεσοπαράλληλο του τραπεζίου , στο και την στο .

Αν η συναντά την στο , δείξτε ότι $QR=2\cdot MN$

Καλησπέρα!
Έστω DC=a,AB=b,AD=c,C'

το συμμετρικό του

ως προς το

και

η προβολή του

στην

.
Επειδή

αρκεί

.
$DC//QR\Leftrightarrow \dfrac{a}{QR}=\dfrac{TD}{TQ}\Leftrightarrow QR= \dfrac{aTQ}{TD}\,\,(1)$
Από δύναμη σημείου είναι $TD\cdot DQ=DC\cdot DC'\Leftrightarrow TD=\dfrac{a^2}{DQ}$
Η (1)

γίνεται $QR=\dfrac{a\left ( \dfrac{a^2}{DQ} +DQ\right )}{\dfrac{a^2}{DQ}}=\dfrac{a^2+DQ^2}{a}$
Αρκεί λοιπόν $a\left ( a+b \right )=a^2+DQ^2\Leftrightarrow ab=DQ^2$

Είναι $\overset{\Delta }{DCP}\sim \overset{\Delta }{CKB}\Leftrightarrow PD=\dfrac{a\left (b-a \right )}{c}\,\,\,(2)$

$DQ^2=MD^2+MQ^2=\dfrac{c^2}{4}+PQ^2-PM^2=\dfrac{c^2}{4}-\left ( \dfrac{c}{2}-PD \right )^2+PC^2=-PD^2+cPD+\,\,\,+PD^2+a^2\overset{(2)}{=}a\left ( b-a \right )+a^2=ab$

Άρα πράγματι QR=2MN

: 156.PNG (40.89 KiB) Προβλήθηκε 769 φορές

sakis1963 · #3

Μπράβο, Πρόδρομε!

κοίταξε τώρα κάτι άλλο:

Αν στο σχήμα σου $S\equiv TC' \cap RM$ , $L\equiv (P, PC) \cap RM$ και $U\equiv (STR) \cap TL$ ,

δείξε οτι το TSUR

είναι αρμονικό τετράπλευρο

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #4

sakis1963 έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 02, 2019 11:56 am
Μπράβο, Πρόδρομε!

κοίταξε τώρα κάτι άλλο:

Αν στο σχήμα σου $S\equiv TC' \cap RM$ , $L\equiv (P, PC) \cap RM$ και $U\equiv (STR) \cap TL$ ,

δείξε οτι το είναι αρμονικό τετράπλευρο

Αρκεί

συμμετροδιάμεσος στο TSR

:
Το τμήμα

είναι συμμετρικό του C'L

ως προς την

,δηλαδή

μέσον του

και

μέσο του

. Αρκεί λοιπόν να είναι $\angle C'TL=\angle QTR$ που ισχύει αφού βαίνουν σε ίσα τόξα.

: 158,.PNG (48.92 KiB) Προβλήθηκε 713 φορές

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #5

Μία λύση για την αρχική με λιγότερες πράξεις και χρήση του αρμονικού τετράπλευρου,

Έστω

το κέντρο του (S,T,R)

και

ο πόλος του

ως προς τον ίδιο κύκλο.
Λόγω του αρμονικού οι XT,XU

είναι εφαπτόμενες και το

ανήκει στη

.
Από λήμμα είναι $\left ( X,S,L,R \right )=-1$ και από $Mac\,\,Laurin$ (

μέσον του

) έχω $LQ\cdot LX=LS\cdot LR=LT\cdot LU$ άρα XTQU

εγγράψιμο,επιπλέον στον κύκλο αυτό θα ανήκει και το

(απλό).Τα

είναι όμοια άρα οι περιγεγραμμένοι κύκλοι τους εφάπτονται.Άρα T,P,O

συνευθειακά.
Είναι $\angle XQA=\angle TQX=\angle XTU=\angle XQU$ δηλαδή U,A,Q

συνευαθειακά.
Αν $Y\equiv BA\cap SU,G\equiv XR\cap YC'$ τότε CC'BY

ισοσκελές τραπέζιο και GL=QN

.
$\angle YST=180^{\circ}-\angle TRU=180^{\circ}-\angle TQS\Leftrightarrow C'L//SY$ και αφού

μέσο του

το

είναι παραλληλόγραμμο και $GS=GL\Leftrightarrow SG=QN\Leftrightarrow SQ=GN\Leftrightarrow QR=2MN$

.

: 159.PNG (65.4 KiB) Προβλήθηκε 680 φορές

sakis1963 · #6

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 02, 2019 2:31 pm
Μία λύση για την αρχική με λιγότερες πράξεις και χρήση του αρμονικού τετράπλευρου,

Έστω το κέντρο του και ο πόλος του ως προς τον ίδιο κύκλο.
Λόγω του αρμονικού οι είναι εφαπτόμενες και το ανήκει στη .
Από λήμμα είναι $\left ( X,S,L,R \right )=-1$ και από $Mac\,\,Laurin$ ( μέσον του ) έχω $LQ\cdot LX=LS\cdot LR=LT\cdot LU$ άρα εγγράψιμο,επιπλέον στον κύκλο αυτό θα ανήκει και το (απλό).Τα είναι όμοια άρα οι περιγεγραμμένοι κύκλοι τους εφάπτονται.Άρα συνευθειακά.
Είναι $\angle XQA=\angle TQX=\angle XTU=\angle XQU$ δηλαδή συνευαθειακά.
Αν $Y\equiv BA\cap SU,G\equiv XR\cap YC'$ τότε ισοσκελές τραπέζιο και .
$\angle YST=180^{\circ}-\angle TRU=180^{\circ}-\angle TQS\Leftrightarrow C'L//SY$ και αφού μέσο του το είναι παραλληλόγραμμο και $GS=GL\Leftrightarrow SG=QN\Leftrightarrow SQ=GN\Leftrightarrow QR=2MN$ .

159.PNG

Μετρικές σχέσεις επ' ευθείας

Μετρικές σχέσεις επ' ευθείας

Re: Μετρικές σχέσεις επ' ευθείας

Re: Μετρικές σχέσεις επ' ευθείας

Re: Μετρικές σχέσεις επ' ευθείας

Re: Μετρικές σχέσεις επ' ευθείας

Re: Μετρικές σχέσεις επ' ευθείας

Μέλη σε σύνδεση