Ισότητα διαγωνίου τετραγώνου με τμήμα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2754
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Ισότητα διαγωνίου τετραγώνου με τμήμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Νοέμ 03, 2019 3:14 pm

Έστω τετράγωνο ABCD και έστω M το συμμετρικό του σημείου B ως προς το A. Αν N είναι σημείο της διαγωνίου AC τέτοιο ώστε A\widehat{M}N=15^\circ, να δειχθεί ότι MN=AC.

Φιλικά,

Αχιλλέας



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9574
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισότητα διαγωνίου τετραγώνου με τμήμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Νοέμ 03, 2019 4:36 pm

achilleas έγραψε:
Κυρ Νοέμ 03, 2019 3:14 pm
Έστω τετράγωνο ABCD και έστω M το συμμετρικό του σημείου B ως προς το A. Αν N είναι σημείο της διαγωνίου AC τέτοιο ώστε A\widehat{M}N=15^\circ, να δειχθεί ότι MN=AC.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Έστω a η πλευρά του τετραγώνου.
Ισότητα δ.τ.μ.τ.png
Ισότητα δ.τ.μ.τ.png (8.84 KiB) Προβλήθηκε 336 φορές
Νόμος ημιτόνων στο AMN: \displaystyle \frac{{MN}}{a} = \frac{{\sin 135^\circ }}{{\sin 30^\circ }} = \sqrt 2  \Leftrightarrow MN = a\sqrt 2  = AC


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3279
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Ισότητα διαγωνίου τετραγώνου με τμήμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Κυρ Νοέμ 03, 2019 5:08 pm

achilleas έγραψε:
Κυρ Νοέμ 03, 2019 3:14 pm
Έστω τετράγωνο ABCD και έστω M το συμμετρικό του σημείου B ως προς το A. Αν N είναι σημείο της διαγωνίου AC τέτοιο ώστε A\widehat{M}N=15^\circ, να δειχθεί ότι MN=AC.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Με MK \bot NA η άσκηση ολοκληρώνεται…
shape.png
shape.png (10.81 KiB) Προβλήθηκε 323 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7337
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισότητα διαγωνίου τετραγώνου με τμήμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Νοέμ 03, 2019 6:00 pm

ισότητα διαγωνίου με τμήμα.png
ισότητα διαγωνίου με τμήμα.png (22.68 KiB) Προβλήθηκε 303 φορές
\widehat {MKN} = 60^\circ  + 30^\circ  = 90^\circ  \Rightarrow MN = {\lambda _4} = a\sqrt 2

Αλλιώς: Τα ορθογώνια τρίγωνα , KMN και DAC είναι ίσα


Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1168
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Ισότητα διαγωνίου τετραγώνου με τμήμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Νοέμ 03, 2019 6:53 pm

1.png
1.png (23.27 KiB) Προβλήθηκε 283 φορές

Κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο MPD. Προφανώς \angle DMN=30^{0}.
Οπότε η MN είναι μεσοκάθετος του DP. Άρα ND=NP.
Αλλά ND=NB (η διαγώνιος είναι άξονας συμμετρίας στα τετράγωνα).
Επομένως \triangle PND=\triangle DNB.
Συνεπώς \angle NDP=\angle NDB=15^{0}\Rightarrow \angle DPN=15^{0}.
Οπότε \angle PND=150^{0}. Άρα το M είναι το περίκεντρο του \triangle PND.
Δηλαδή MN=MD\Rightarrow MN=AC.


achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2754
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Ισότητα διαγωνίου τετραγώνου με τμήμα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Νοέμ 03, 2019 8:49 pm

Καλησπέρα σας!

Ας προσθέσω ότι πρόκειται για το πρόβλημα E15080 του \text{Gazeta Matematic\u a}, με λύση στο Τεύχος 4/2017.

Ωραίες οι λύσεις σας! Η δημοσιευμένη λύση είναι συνθετική και διαφέρει από τις παραπάνω.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1857
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισότητα διαγωνίου τετραγώνου με τμήμα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Νοέμ 04, 2019 12:58 pm

achilleas έγραψε:
Κυρ Νοέμ 03, 2019 3:14 pm
Έστω τετράγωνο ABCD και έστω M το συμμετρικό του σημείου B ως προς το A. Αν N είναι σημείο της διαγωνίου AC τέτοιο ώστε A\widehat{M}N=15^\circ, να δειχθεί ότι MN=AC.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Με E συμμετρικό του N ως προς A \Rightarrow MN=//EB κι επειδή \triangle EDB ισόπλευρο \Rightarrow MN=DB=AC
Ισότητα διαγωνίου τετραγώνου.png
Ισότητα διαγωνίου τετραγώνου.png (15.42 KiB) Προβλήθηκε 210 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1289
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Ισότητα διαγωνίου τετραγώνου με τμήμα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Νοέμ 04, 2019 8:04 pm

Επιβάλλεται μια Καλησπέρα στην παρέα! Με χρήση του σχήματος:
Ισότητα...PNG
Ισότητα...PNG (9.95 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές
Είναι MD=\parallel   AC. Φέρω DF \parallel  MN . Τότε FDMN παραλληλόγραμμο και \widehat{F}=\widehat{N}=30^{0}\Rightarrow FD=2DO=AC

άρα καιMN=FD=AC (το FDMN ρόμβος ). Φιλικά , Γιώργος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης