Τετράγωνο και εφαπτομένη

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8782
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Τετράγωνο και εφαπτομένη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Νοέμ 03, 2019 7:34 pm

Τετράγωνο και εφαπτομένη.png
Τετράγωνο και εφαπτομένη.png (11.43 KiB) Προβλήθηκε 248 φορές
Στην προέκταση της πλευράς DC τετραγώνου ABCD πλευράς a θεωρούμε σημείο S. Η SA τέμνει την BC στο

N. Γράφουμε τον κύκλο διαμέτρου NS. Να προσδιορίσετε τη θέση του S ώστε η DB να εφάπτεται του κύκλου.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 107
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Τετράγωνο και εφαπτομένη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Κυρ Νοέμ 03, 2019 11:16 pm

Έστω CS=x
Είναι DP^{2}=a\left ( a+x \right )\Leftrightarrow DP=\sqrt{a\left ( a+x \right )}\,\,(1) και BP^{2}=a\cdot BN\,\,(2).
Ακόμη \dfrac{BN}{BC}=\dfrac{a}{x} και BN+NC=a, απο τις οποίες προκύπτει BN=\dfrac{a^{2}}{x+a}\,\,(3)
Τώρα είναι:
(2)\overset{(1),\left ( 3 \right )}{\Leftrightarrow }\left ( \sqrt{a\left ( a+x \right )}-a\sqrt{2} \right ) ^{2}=\dfrac{a^{3}}{x+a}\Leftrightarrow a\left ( a+x \right )+2a^{2}-2a\sqrt{2a\left ( a+x \right )}=\dfrac{a^{3}}{x+a}\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow\,\,,, x^{2}+4ax+2a^{2}-2\left ( x+a \right)\sqrt{2a\left ( x+a \right )}=0
με δεκτή ρίζα την x=\sqrt{3}a+a
τελευταία επεξεργασία από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ σε Δευ Νοέμ 04, 2019 12:07 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1734
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τετράγωνο και εφαπτομένη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Νοέμ 03, 2019 11:40 pm

george visvikis έγραψε:
Κυρ Νοέμ 03, 2019 7:34 pm
Τετράγωνο και εφαπτομένη.png
Στην προέκταση της πλευράς DC τετραγώνου ABCD πλευράς a θεωρούμε σημείο S. Η SA τέμνει την BC στο

N. Γράφουμε τον κύκλο διαμέτρου NS. Να προσδιορίσετε τη θέση του S ώστε η DB να εφάπτεται του κύκλου.

Ισχύει \dfrac{DS}{a}= \dfrac{DK}{KB} = \dfrac{a}{BN} \Rightarrow DS . BN=a^2

Επιπλέον BP^2=BN . a και DP^2=a . DS και

(BP . DP)^2=a^2 . (DS.NB)=a^4 \Rightarrow BP . DP=a^2 \Rightarrow x(x+a \sqrt{2})=a^2 \Rightarrow x= \dfrac{a \sqrt{2}( \sqrt{3}-1)  }{2}

Από την x^2=BN . a παίρνουμε BN=a(2- \sqrt{3} ) κι από την   \dfrac{a}{NB} = \dfrac{y}{a-NB}  \Rightarrow ..y=CS=a( \sqrt{3}+1)
τετράγωνο και εφαπτομένη.png
τετράγωνο και εφαπτομένη.png (14.89 KiB) Προβλήθηκε 168 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6947
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τετράγωνο και εφαπτομένη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Νοέμ 04, 2019 11:24 am

Ανάλυση

Έστω λυμένο το πρόβλημα. Αν θέσω NB = y επειδή AB//CS από τα όμοια τρίγωνα , CSN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BAN θα είναι : CS = ka\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CN = ky\,\,,\,\,k > 0.

Από τις δυνάμεις των D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B ως προς τον κύκλο έχω :

\left\{ \begin{gathered} 
  {\left( {a\sqrt 2  + x} \right)^2} = a\left( {ka + a} \right) = {a^2}\left( {k + 1} \right) \hfill \\ 
  \left( {ay = } \right)\,\,{x^2} = y\left( {ky + y} \right) = {y^2}\left( {k + 1} \right) \hfill \\  
\end{gathered}  \right. και διαιρώντας κατά μέλη προκύπτει :
Διαγώνιος κι εφαπτομένη.png
Διαγώνιος κι εφαπτομένη.png (24.63 KiB) Προβλήθηκε 123 φορές

\dfrac{{a\sqrt 2  + x}}{x} = \dfrac{a}{y} = \dfrac{{{a^2}}}{{ay}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{x^2}}} \Rightarrow {x^2} + ax\sqrt 2  = {a^2}\,\,(1)\,\,

Από το Θ συνημίτονου στο BAPέχω A{P^2} = {a^2} + {x^2} + ax\sqrt 2 \mathop  = \limits^{\left( 1 \right)} 2{a^2}. Άρα \boxed{PA = AC = PC}

Κατασκευή :
Διαγώνιος κι εφαπτομένη κατασκευή.png
Διαγώνιος κι εφαπτομένη κατασκευή.png (18.83 KiB) Προβλήθηκε 118 φορές
Ο κύκλος : (A,AC) τέμνει την ευθεία DB στο P. Η μεσοκάθετος στο CP και η κάθετος στην BP στο P τέμνονται στο κέντρο του κύκλου που ζητάμε,


Altrian
Δημοσιεύσεις: 199
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Τετράγωνο και εφαπτομένη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Δευ Νοέμ 04, 2019 11:52 am

Παρόμοια με του Νίκου,

Η DP είναι μεσοκάθετος της AC. Αρα εύκολα προκύπτει ότι \angle FPA=\angle FPC=\phi+\theta\Rightarrow AF=FP.
Αλλά λόγω της μεσοκαθέτου AF=FC\Rightarrow FC=FP.
Επίσης έχουμε ότι: \angle CBD=45=\phi+(\phi+\theta)\Rightarrow 2\phi+\theta=45 [1]
Τα τρίγωνα CFO,FPO είναι ίσα (τρεις πλευρές ίσες άρα 2\phi=2\theta\Rightarrow \phi=\theta και με βάση την [1]\Rightarrow \phi=\theta=15.

Επομένως \angle CAS=45-15=30 και η κατασκευή ολοκληρώνεται γεωμετρικά.
Συνημμένα
τετράγωνο και εφαπτομένη.png
τετράγωνο και εφαπτομένη.png (42.31 KiB) Προβλήθηκε 116 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης