Γωνία και τμήμα (3)

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11540
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Γωνία και τμήμα (3)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Νοέμ 04, 2019 12:05 pm

Γωνία  και τμήμα.png
Γωνία και τμήμα.png (12.69 KiB) Προβλήθηκε 305 φορές
Οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου ABCD τέμνονται κάθετα στο σημείο O και είναι :

OA=7,OB=4,OC=3,OD=1 . Οι προεκτάσεις των AD,BC

τέμνονται στο σημείο S . Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας \hat{S} και το τμήμα CS .



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1810
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Γωνία και τμήμα (3)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Νοέμ 04, 2019 2:39 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Νοέμ 04, 2019 12:05 pm
Γωνία και τμήμα.pngΟι διαγώνιοι του τετραπλεύρου ABCD τέμνονται κάθετα στο σημείο O και είναι :

OA=7,OB=4,OC=3,OD=1 . Οι προεκτάσεις των AD,BC

τέμνονται στο σημείο S . Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας \hat{S} και το τμήμα CS .
Μια τριγωνομετρική...

 tan( \theta + \phi )=tan \omega = \dfrac{4}{3}  \Rightarrow  \dfrac{tan \theta +tan \varphi }{1-tan \theta tan \varphi  }= \dfrac{4}{3} .Με  tan \varphi = \dfrac{1}{7}   \Rightarrow tan \theta =1 \Rightarrow  \theta = \dfrac{ \pi }{4}

Αν  CE \bot AD \Rightarrow CE= \dfrac{x \sqrt{2} }{2} και  sin \varphi = \dfrac{1}{5 \sqrt{2} } = \dfrac{EC}{10}  \Rightarrow EC= \sqrt{2}  \Rightarrow x=2
γωνία και τμήμα.png
γωνία και τμήμα.png (12.88 KiB) Προβλήθηκε 282 φορές


Altrian
Δημοσιεύσεις: 207
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Γωνία και τμήμα (3)

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Δευ Νοέμ 04, 2019 4:51 pm

(ADC)=5=\dfrac{AD*EC}{2}\Rightarrow EC=\sqrt{2}.

(DSC)=\dfrac{\sqrt{2}*(2\sqrt{2}+\sqrt{x^{2}+2})}{2}=\dfrac{3x}{2}\Rightarrow 7x^{2}-24x+20=0\Rightarrow x=2

Και \theta=45
Συνημμένα
γωνία και τμήμα.png
γωνία και τμήμα.png (24.19 KiB) Προβλήθηκε 251 φορές


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9192
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γωνία και τμήμα (3)

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Νοέμ 04, 2019 6:14 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Νοέμ 04, 2019 12:05 pm
Γωνία και τμήμα.pngΟι διαγώνιοι του τετραπλεύρου ABCD τέμνονται κάθετα στο σημείο O και είναι :

OA=7,OB=4,OC=3,OD=1 . Οι προεκτάσεις των AD,BC

τέμνονται στο σημείο S . Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας \hat{S} και το τμήμα CS .
Στο σχήμα είναι DE\bot BS και SH\bot BD. Το BDC είναι ισοσκελές, άρα DE=OC=3, BE=4, EC=1.
Γωνία και τμήμα (3).png
Γωνία και τμήμα (3).png (12.5 KiB) Προβλήθηκε 233 φορές
Από τα όμοια τρίγωνα OAD, HSD και OCB, HSB, \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
\dfrac{7}{{HS}} = \dfrac{1}{{DH}}\\ 
\\ 
\dfrac{3}{{HS}} = \dfrac{4}{{5 + DH}} = \dfrac{5}{{BS}} 
\end{array} \right. \Rightarrow BS = 7

Άρα, \boxed{CS=2} οπότε το DES είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και \boxed{\theta=45^\circ}


Altrian
Δημοσιεύσεις: 207
Εγγραφή: Τρί Μάιος 01, 2018 4:51 pm
Τοποθεσία: Βούλα, Αττική

Re: Γωνία και τμήμα (3)

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Altrian » Δευ Νοέμ 04, 2019 6:39 pm

Αλλη μία.

\dfrac{AD}{DS}=\dfrac{(ADC)}{(DCS)}=\dfrac{(ADB)}{(DBS)}\Rightarrow \dfrac{5}{(DCS)}=\dfrac{17,5}{7,5+(DCS)}\Rightarrow (DCS)=3

Αρα (DCS)=3=\dfrac{3*CS}{2}\Rightarrow CS=2

Και όπως και πριν \theta=45


Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7131
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Γωνία και τμήμα (3)

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Νοέμ 04, 2019 11:07 pm

Γωνία και τμήμα_3_KARKAR_αναλυτική Γεωμετρία.png
Γωνία και τμήμα_3_KARKAR_αναλυτική Γεωμετρία.png (18.13 KiB) Προβλήθηκε 179 φορές

\overrightarrow {AD}  = \left( {7,1} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overrightarrow {BC}  = \left( {3,4} \right) με κλίσεις: {\lambda _1} = \dfrac{1}{7}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{\lambda _2} = \dfrac{4}{3} .

\boxed{\tan \theta  = \frac{{|{\lambda _2} - {\lambda _1}|}}{{1 + {\lambda _1}{\lambda _2}}} = 1 \Rightarrow \theta  = 45^\circ }

S:\left\{ \begin{gathered} 
   - \dfrac{x}{7} + y = 1 \hfill \\ 
  \dfrac{x}{3} - \dfrac{y}{4} = 1 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow S\left( {\dfrac{{21}}{5},\dfrac{8}{5}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {DS}  = \left( {\dfrac{6}{5},\dfrac{8}{5}} \right) άρα \boxed{DS = \sqrt {\dfrac{{36 + 64}}{{25}}}  = 2}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1810
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Γωνία και τμήμα (3)

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Νοέμ 05, 2019 12:37 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Νοέμ 04, 2019 12:05 pm
Γωνία και τμήμα.pngΟι διαγώνιοι του τετραπλεύρου ABCD τέμνονται κάθετα στο σημείο O και είναι :

OA=7,OB=4,OC=3,OD=1 . Οι προεκτάσεις των AD,BC

τέμνονται στο σημείο S . Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας \hat{S} και το τμήμα CS .

...και μια γεωμετρική..

Είναι CB=DB=5 και με DZ \bot BC \Rightarrow DZ=OC=3, CZ=1.Έστω ακόμη AH \bot BC

Ισχύει CO . CA=CB . CH \Rightarrow 30=5CH \Rightarrow CH=6 και με Π.Θ στο \triangle AHC \Rightarrow AH=8

Έχουμε, \dfrac{DZ}{AH} = \dfrac{SZ}{SH} \Rightarrow  \dfrac{3}{8}= \dfrac{x+1}{x+6}  \Rightarrow x=CS=2  \Rightarrow SZ=DZ=3 \Rightarrow  \theta = \dfrac{ \pi }{4}
γωνία και τμήμα.png
γωνία και τμήμα.png (24.25 KiB) Προβλήθηκε 169 φορές


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3271
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Γωνία και τμήμα (3)

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τρί Νοέμ 05, 2019 7:26 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Νοέμ 04, 2019 12:05 pm
Οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου ABCD τέμνονται κάθετα στο σημείο O και είναι :

OA=7,OB=4,OC=3,OD=1 . Οι προεκτάσεις των AD,BC

τέμνονται στο σημείο S . Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας \hat{S} και το τμήμα CS .
shape.png
shape.png (15.52 KiB) Προβλήθηκε 147 φορές
Φέρνω SE \bot BD,\,SZ \bot SB και σχηματίζονται τα όμοια  \triangleleft DOA, \triangleleft DES\, \wedge \, \triangleleft BOC, \triangleleft BES, \triangleleft SEZ, \triangleleft BSZ

Ισχύει \dfrac{4}{3} = \dfrac{{5 + k}}{{7k}} \Leftrightarrow k = \dfrac{3}{5} και από Θαλή CS = 2

Αντικαθιστώντας έχουμε \dfrac{{SZ}}{{SB}} = \dfrac{{ZD}}{{DB}} = \dfrac{3}{4}, οπότε από αντίστροφο θ. διχοτόμου προκύπτει \theta  = {45^ \circ }


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης